#氮化硅光波导 #氮化铝压电
摘要
将原子、离子和固态发射器的量子控制规模化，需要在可批量制造的平台上对高功率可见光进行吉赫兹频率的光谱控制。氮化硅光子学提供高功率处理能力和 CMOS 代工厂兼容性，但没有用于高速调制的固有机制。与压电材料集成可实现声光相位调制，而机械共振增强使其在吉赫兹频率下变得高效。然而，单一共振将调制波形限制为单一音调，强加贝塞尔函数边带振幅并将频移效率限制在 33.9%。在此，我们设计了一种氮化硅声光微结构，以支持 1.14 GHz 和 2.28 GHz 处谐波间隔的共振，每个共振均与 730 nm 导模光学模式强光机械耦合，从而可以共振合成定制的非正弦调制波形。通过压电控制两个机械振幅及其相对相位，我们展示了向单个边带的 50% 转换（为单音理论最大值的 1.5 倍）、平坦的七线梳，以及具有 60 dB 载波和 53 dB 镜像抑制的频移——据我们所知，这是集成调制器所报道的最高值。这些器件在 200 mm CMOS 代工厂中制造，我们在来自三个晶圆的 36 个器件上测得 91.7% 的良率且无需制造后调谐。我们还展示了该技术如何可直接扩展至三个或更多谐波。这一结果克服了共振增强与光谱可编程性之间的权衡，具有重要影响，包括提高超精细量子比特的单量子比特门效率。
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文章名：Resonant multi-harmonic acousto-optics for programmable frequency control of visible light in a CMOS platform
作者：Jacob M. Freedman¹, Matthew J. Storey², Daniel Dominguez², Andrew Leenheer², Nils T. Otterstrom²,³, and Matt Eichenfield¹,²∗
单位：1 Department of Electrical, Computer and Energy Engineering, University of Colorado Boulder, Colorado, USA
2 Microsystems Engineering, Science, and Applications, Sandia National Laboratories, Albuquerque, New Mexico, USA
3 Present address: Manzano Systems Inc., 2100 Louisiana Blvd Suite 480 NE, Albuquerque, New Mexico, USA
正文
可见和近可见激光是控制和测量当今许多最先进量子技术的接口[1–3]。它为囚禁离子[4]、中性原子[5]和固态发射器[6]提供冷却、初始化、俘获、门操作和读出。其中许多功能需要在吉赫兹尺度上编程连续波激光的光谱内容，将其定制为规定的多音光学场[7,8]。随着这些系统中物理量子比特的数量从数十个增长至数百万个[9–11]，控制必须扩展至数量相当的可单独寻址通道，为此大部分光功率解复用需要在芯片上执行[12]。因此，实现这些控制系统的材料平台必须结合吉赫兹频率下的高效调制、小占地面积、高可见波长功率处理能力和批量可制造性[2,3]。
氮化硅（SiN）光子平台非常适合这一应用领域，因为 SiN 从 400 nm 到 2350 nm 透明[13]，可在可见波长下处理高光功率[14–16]，并且与互补金属氧化物半导体（CMOS）代工厂工艺兼容[13,17]。在此基础上，已利用 SiN 集成光子学实现了各种器件能力[18]，从微梳生成[19]和布里渊激光[20–22]到超低损耗波导[23–25]以及用于离子阱的光束传输系统[16,26]。
由于 SiN 是非晶的，它既不支持普克尔斯效应也不支持压电效应，这意味着电激发的声光和电光调制并非固有可用。相反，高速调制通常通过与压电材料（例如氮化铝（AlN）或掺钪 AlN）的单片集成来实现[27]。包含这些材料的应变致动器随后可以驱动 SiN 波导中的光弹和移动边界相互作用，而不会降低其优异的无源光学特性[28–31]。该方法已实现对微梳[32]、环形谐振器[31,33,34]、马赫–曾德尔干涉仪[35]和光束扫描器[36]的准静态控制。
在吉赫兹频率或附近实现高效调制，需要机械共振以增强声光相互作用[14,37,38]，或者将波导路由经过行波声波的多程[39]。这两种机制都将调制限制在单一微波频率的附近，而任何具有更丰富光谱内容的调制波形都会被滤波为单一音调。这强加了贝塞尔函数边带振幅，禁止了非对称输出光谱，并将向任何频移的转换限制在 33.9% 的单音界限内。
当一种调制的边带用作另一种调制的载波时，相位调制可以克服这些光谱限制，使所得梳重叠并干涉。频率编码量子处理器通过在两个单音调制器之间布置脉冲整形器来实现这一点，使得由第一个调制器产生的边带在第二个调制器中以编程的相对相位重新组合[40,41]，但脉冲整形器在集成平台中难以实现和控制[42]。或者，非正弦周期调制波形在单个调制器内产生重叠的梳（图 1b），而具有位于波形基频整数倍处的模式的机械谐振器，可以在其每个傅里叶分量处提供必要的共振增强。具有整数频率比的机械共振已在微机械系统中被工程化用于频率稳定和声子频率梳生成[43–46]，但它们尚未被纳入光子平台以在外部合成驱动的每个谐波处提供强调制响应，而这将消除共振增强与光谱可编程性之间的权衡。
图 1. 多谐波声光相位调制器的设计与工作原理。a 调制器的渲染图，描绘了支持压电可激发呼吸模机械共振和传播光学模式的释放微结构。右侧插图显示了两个谐波间隔机械共振的模拟位移分布以及它们所耦合的横电光学模式。右上图描绘了器件横截面的层叠和几何结构。b 示意图，显示双音谐波相位调制的工作原理。在 Ω 处的调制产生贝塞尔加权梳，然后其每条梳线作为 2Ω 处调制的载波，产生其组合干涉形成输出光谱的梳。c 本工作中所用三个不同晶圆的芯片照片，并放置标准光纤跳线以示比例。d 伪彩色扫描电子显微照片，显示两侧 5 µm 宽沟槽之间 1.4 µm 宽的释放结构，这些沟槽将其与芯片其余部分机械隔离。
在此，我们通过在 SiN-AlN CMOS 平台中工程化微结构的机械谱，使其包含两个谐波间隔的吉赫兹频率机械呼吸模，每个模均与导波可见波长光学模式光机械耦合（图 1a），从而实现这样一种器件。我们通过光刻控制结构宽度和波导芯宽度来实现这一点，这些参数可调谐机械共振频率和光机械耦合强度。我们在结构中嵌入 AlN 压电致动器，允许对两个机械振幅及其相对相位进行机电控制。使用这三个控制参数，我们可以定制输出光谱，其覆盖范围远超单音调制所能达到的范围。
我们设计和制造了结构宽度 w_struct = 1.4 µm、SiN 芯宽度 w_core = 1.1 µm 的器件，其在 1.14 GHz 和 2.28 GHz 处具有谐波间隔的共振，测得的半波电压分别为 V_π,1 = 2.87 V 和 V_π,2 = 1.49 V。在 730 nm 光下工作，我们使用这些器件合成编程光谱，包括具有 50% 转换效率的频移（比单音界限提高 1.5 倍）、平坦的七线梳，以及在 40% 转换效率下具有 60 dB 载波抑制和 53 dB 镜像（负边带）抑制的单边带频移，据我们所知，这是集成频移器所报道的最高同时载波和镜像抑制（见补充信息第 1 节中的比较表）[8]。尽管依赖两个机械共振频率的精确对准，我们在来自三个不同晶圆、具有相同设计横截面的 36 个器件上展示了 91.7% 的良率（图 1c）。从这些器件统计中，我们发现 1.14 GHz 和 2.28 GHz 模式的平均调制带宽分别为 16.5 MHz 和 24.4 MHz。同一代工厂工艺已支持单模可见波导中的瓦特级光功率[14,15]以及与 CMOS 驱动电子器件的单片集成[17]，因此这些器件构建在一个满足上述功率处理和制造要求的平台中。
我们还测量了具有 w_struct = 900 nm 和 w_core = 600 nm 的器件中 3.39 GHz 处的光机械耦合三次谐波共振，并表明将承载各自设计共振的调制器级联，能够以直接且可扩展的方式使用更多谐波。最后，我们讨论了多谐波相位调制为量子技术带来的优势。至关重要的是，我们计算出，在超精细量子比特跃迁频率的两个次谐波处驱动，可以产生与在跃迁频率本身处驱动一样或更高的拉比速率。作为其示例，我们注意到本工作中呈现的许多器件工作在 ⁸⁷Rb 超精细分裂（6.83 GHz）的六分之一和三分之一处，并且我们表明，使用这两个次谐波可实现直接驱动门效率的 97%，其采用与最先进量子信息处理器中实现的单量子比特门生成相同的机制[5,9]。因此，该平台可以为领先的量子计算系统（例如基于铷、铯、钡和镱的系统）中的量子比特控制调节光，而无需直接在其跃迁处（范围为 6.8 GHz 至 12.6 GHz）支持更高频率的机械共振[4,5,47,48]。
结果
器件制造与设计
这些器件如图 1a 所示，在桑迪亚国家实验室的 CMOS 代工厂工艺中于 200 mm 晶圆上制造。如此前工作[14,31,35]所述，层叠由位于氮化铝压电致动器顶部的氮化硅光学波导组成。我们释放致动器下方埋藏的一层图案化非晶硅，以形成图 1a 所示的周期性支撑悬浮结构。从波导上氧化物包层进入该埋藏层的刻蚀也限定了器件的宽度（图 1d）。所得结构承载一系列机械呼吸模和导波光学模式（图 1a 插图）。这些共振发生的频率是层叠内材料机械特性、层厚度和结构宽度的函数。其中最后一个参数提供了一个可光刻调谐的旋钮，用于控制机械谱（见补充信息第 2.1 节）。
为实现共振增强的多谐波相位调制，该结构必须支持至少两个谐波间隔的机械模式，且每个模式均与波导的传播光学模式强光机械耦合。此处，强耦合意味着在低于器件损伤阈值且处于给定应用可用驱动电子设备范围内的微波功率下，达到 π 阶调制深度。由于耦合由光弹加权应变场与光学强度分布的积分交叠决定，这一条件相当于将机械模式能量局域在 SiN 芯处，并确保该区域内的应变在光学模式尺度上无空间振荡，否则将抵消交叠（光机械耦合模型细节见补充信息第 2.2 节）。
由此，双谐波调制器必须满足以下条件，我们称之为谐波对准：
其中 β₁ 和 β₂ 分别是模式 1 和模式 2 所需的最大调制深度，V_max 是可施加到器件的最大电压，并且假设两个模式均具有洛伦兹功率谱，其中心角频率为 Ω₁ 和 Ω₂，半高全宽为 γ₁ 和 γ₂，相应的频率相关半波电压分别为 V_π,1(Ω) 和 V_π,2(Ω)。式 (1) 表明，两个共振频率必须以二倍因子间隔，其容差由它们的线宽设定，并按取决于可用驱动电压和目标光谱所需调制深度的因子缩放。
图 2. 双谐波共振增强调制器的多晶圆生产。a 芯片的光学显微图像，显示光栅耦合波导蜿蜒穿过若干器件。指示了光栅耦合器、微波焊盘、微波路由和声光结构。b 对于结构宽度从 1.15 µm 到 1.60 µm 的器件，测得的微波反射 S11 随频率的变化（为清晰起见在垂直方向偏移）。呼吸模共振表现为尖锐凹陷，一对光机械耦合模式以红色和蓝色显示。红色带大致指示第二模式必须存在以实现双谐波调制的区域。c 单个器件一部分的光学显微图像，显示沟槽和释放结构。d 用于表征频率控制器件的实验装置。VNA 探测片上结构的机电特性，自外差干涉仪用于测量调制所产生的每个边带中的功率。e 来自三个不同晶圆的 1.4 µm 宽器件的半波功率随驱动频率的变化。共振峰对应于高效调制。后面板上的虚线曲线表示不同器件的平均值，并显示共振频率的统计。f 所有表征器件的测得模式 2 频率随模式 1 频率的变化。虚线标记恰好 Ω₂ = 2Ω₁ 的位置，阴影带指示根据式 (1) 实现谐波对准的区域。g-i 来自每个晶圆三个代表性器件的模式 2 附近半波功率随频率的变化。模式 1 的半波功率叠加在倍频轴上，以显示谐波对准程度。
例如，如果可施加到器件的最大电压很大，则所需的对准被放宽。反之，如果需要大的调制深度以实现所需输出光谱，则对准要求更加严格。在尽管在共振处施加最大电压仍无法达到所需调制深度的情况下，平方根的自变量为负，即使 Ω₂ = 2Ω₁ 也无法实现谐波对准。对于本工作的器件和应用，这些参数相当于量级为 1 的修正因子（平方根项），因此将共振频率对准至其线宽跨度之内是一个有用的经验法则（该条件的推导及其分析细节见补充信息第 3.2 节）。
声光调制的表征
考虑到上述谐波对准条件，我们设计并制造了一个 w_struct 和 w_core 扫描的器件阵列（图 2a 和 c）。我们使用矢量网络分析仪（VNA）通过提取器件的微波反射系数 S11 随频率的变化来探测这些器件的机电特性。然后，我们通过识别反射中出现凹陷的频率来记录器件机械谱中机电耦合的子集。该分析的结果对于五种不同宽度的器件显示于图 2b 中。通常，存在一个我们称为模式 1 的模式，其共振频率 Ω₁/2π 约为 1.14 GHz，并且对结构宽度相对不敏感。还存在一个我们称为模式 2 的模式，其频率 Ω₂/2π 存在于 2.0–2.5 GHz 范围内，并且对结构宽度敏感。对于结构宽度 w_struct = 1.4 µm 和芯宽度 w_core = 1.1 µm，这两个模式具有近似谐波间隔的共振频率。仿真证实了频率对宽度的这种依赖性，并预测这两个模式均具有强光机械耦合（补充信息第 2.2 节）。
图 3. 可见光的集成可编程吉赫兹尺度频率控制。a 双音调制示意图：调制深度 β₁ 和 β₂ 连同相对相位 ψ 决定输出光谱。b–e 向零阶、±1、±2 和 ±3 阶边带的转换效率随驱动音之间相对相位的变化，调制深度固定于使 +1 转换最大化的值。标记为测量值，实线为计入非线性机械二次谐波产生的模型。f 在驱动针对 +1 转换优化时，阶数 −3 至 3 的测得转换效率。g 在驱动针对单边带调制并同时抑制载波和 −1 边带优化时，载波和 ±1 边带的测得转换效率。插图：1 分钟内的自由运行稳定性。h 同 f，驱动针对平坦光谱优化。阴影带表示转换效率 2 dB 的散布。i–j 在 Ω 和 2Ω 处 +1 边带的测得和建模转换效率随驱动电压的变化，ψ 在每个点均被优化。
接下来，我们使用图 2d 示意表示的实验装置测量该器件几何结构下由两个模式产生的光学相位调制。为此，我们以设定功率和频率的微波信号驱动器件，并测量由所得片上相位调制过程产生的两个不同边带中的光功率。我们通过外差干涉读出获得这些光功率（补充信息第 4 节）。然后，通过比较这些功率的比值，我们提取调制深度，并由此计算该频率下器件的调制效率指标。在图 2e 中，我们报告了产生 π 调制深度所需的微波功率 P_π，针对三个选定器件，每个分别选自不同晶圆以及该晶圆内不同的芯片位置。对于其中一个器件，我们进行 V_π 的测量，其中所施加电压使用 VNA 校准，我们发现模式 1 的 V_π,1 = 2.87 V，模式 2 的 V_π,2 = 1.49 V。我们进一步表征来自三个不同晶圆、各自具有相同横截面的 36 个器件，发现模式 1 和模式 2 的平均调制带宽分别为 16.5 MHz 和 24.4 MHz（补充信息第 5 节）。
使用这些值计算式 (1) 中的 γ₁ 和 γ₂，假设 V_max = 2.5 V、β₁ = 2.46 rad 和 β₂ = 1.10 rad，我们计算出 |2Ω₁ − Ω₂| 不得超过 2π × 37.6 MHz。选择 V_max = 2.5 V 确保在器件受损阈值以下运行，并且鉴于该平台最近展示的与 CMOS 驱动电子器件的单片集成，保持与 CMOS 放大器驱动电压的兼容性[17,49]。所需调制深度的选择允许产生本工作中生成的所有光谱。使用该容差，我们评估 91.7% 的测试器件满足谐波对准（图 2f–i）。我们观察到每个晶圆在图 2f 中产生独特的共振频率簇，这可能是由于 SiN 上方和下方二氧化硅包层的晶圆间厚度变化。这些厚度由化学机械抛光工艺限定，其抛光时间在多晶圆制造运行开始时优化一次，随后用于所有晶圆。晶圆间变异性可通过在抛光垫条件变化后重新校准抛光时间，或在抛光期间利用膜厚的原位监测来最小化。
我们还从频率响应数据推断代表性器件的时域响应，发现模式 1 的 10% 至 90% 上升时间为 102 ns，模式 2 为 95 ns（补充信息第 6 节）。这些上升时间受机械品质因数限制，未来工作可通过修改器件周期性支撑的设计来缩短它们。然而，这将以降低共振增强和相应更高的 V_π 为代价。我们还注意到，一个代表性器件的总插入损耗为 17.7 dB。鉴于对同一工艺和同一层叠制造的测试结构的测量，预期传播损耗远低于 1 dB[14,31,35]，该数值很可能主要由光栅耦合器损耗主导，并可在未来工作中显著改善。
可编程频率控制的演示
一旦满足这些器件级条件，调制器可被抽象地视为生成光学信号 U(t) = U₀ exp{i[−ωt + ϕ(t)]}，其中相位调制 ϕ(t) 具有以下形式
其中 ω 是光学角频率，β₁ 是在角频率 Ω 处产生的调制深度，β₂ 是在角频率 2Ω 处产生的调制深度，ψ 是两个调制函数之间的相位差。我们省略 Ω 处调制中的任何显式相位，因为其唯一效果是信号的全局时间平移，可被吸收到 ψ 中。由该表达式可以证明（补充信息第 3.1 节），在 ω − pΩ 处振荡的光学信号的场振幅 Û_p 为
由于两个相位调制可对易，可以将双谐波运行视为分阶段作用，其中 2Ω 处的调制发生在 Ω 处的调制之后。从这个角度来看，由 Ω 调制产生的每个边带都作为 2Ω 调制的载波，产生一系列次级梳。式 (3) 中的每一项都是一个次级梳在 p 阶处贡献的振幅，而求和是它们的相干干涉。这种解释在图 1b 中以图示方式表示。例如，由于 2Ω 调制在来自 Ω 调制的每隔一个梳位处产生边带，来自主梳的每个奇数阶边带将在其次级梳中在 p = 1 阶处产生功率。
给定式 (3)，可以指定目标光谱，并优化三个自由参数 β₁、β₂ 和 ψ 以逼近它。为展示双音驱动所能实现的光谱，我们确定并生成三种用贝塞尔函数加权边带无法实现的性质不同的光学梳。首先，我们最大化向正一阶边带的转换效率。为此，我们对两个调制深度以及 2Ω 信号相对于 Ω 信号的相位进行简单优化（见方法）。与先前结果[50]一致，我们确定当 β₁ = 1.94 rad、β₂ = 0.88 rad 且 ψ = 180° 时，实现 55% 的转换效率。然后，我们开发了一种实验上复现这些理论确定工作点的方案，我们在方法中对此进行描述。
对应于最大化一阶功率的梳的测得光谱如图 3f 所示。我们测得向 +1 边带的转换效率为 50%，比双音最佳值低五个百分点。我们将这一不足归因于表征链的弱频率相关透射，其未从这些测得光谱中校准掉（补充信息第 4 节）。由于我们一致地测得载波（微波域中 125 MHz）的透射系数高于 +1 边带（微波域中约 1 GHz），该测得转换效率是轻微低估（补充表 5）。在图 3i 和 j 中，我们绘制了实验观察到的向一阶边带的转换效率随每个模式的驱动电压的变化。在每对电压下，选择相对相位以最大化转换效率。我们注意到，对于这两个图，坐标轴基于驱动信号通过微波定向耦合器（以组合两个驱动频率）之前施加的电压，因此不反映实际入射到器件本身的电压。
图 4. 级联器件以实现更多谐波的可扩展路径。a 示意图，显示每个谐波如何可在其自身的声光结构中生成，单个光学波导串联路由穿过它们。标签 w₁、w₂ 和 w₃ 指示每个结构具有为分别在 Ω、2Ω 和 3Ω 处调制而设计的独特宽度。b 结构宽度为 900 nm、芯宽度为 600 nm 的修改几何结构中 3.39 GHz 呼吸模的模拟应变分布。c 相同几何结构中 730 nm 处横电光学模式的模拟。d 实验测得的半波功率随频率的变化，针对三次谐波模式以及同一芯片上器件的模式 1 和模式 2。模式 1 和模式 2 的频率轴分别按 3 和 1.5 缩放，使三者均参考三次谐波频率。e 三次谐波模式的调制深度随施加电压的变化，并附线性拟合。
在最大一阶转换的工作设置下，我们还测量了直至三阶的每个边带中的功率随两个驱动信号之间相对相位的变化。结果如图 3a–e 所示，其中我们观察到与计入机械二次谐波产生的拟合模型高度一致，后者使边带功率的测得相位依赖性偏离其预期形式（补充信息第 7 节）。这些数据表明了一个理论事实（补充信息第 7.3 节）：将 ψ 旋转 180° 会将任何生成的功率谱关于载波频率反射，这意味着例如向 +1 边带实现的转换效率也可向 −1 边带实现。
接下来，我们确定了由 β₁ = 1.36 rad、β₂ = 1.41 rad 和 ψ = 90° 产生的平坦七线梳，其包含 92% 的光功率，七条线的峰峰变化为 2 dB。测得梳的结果如图 3h 所示。最后，我们找到一种参数配置，其产生向一阶的单边带频移，相比双音最佳值降低九个百分点，以换取同时将载波和 −1 边带归零。参数值为 β₁ = 2.46 rad、β₂ = 1.10 rad 和 ψ = 180°。实验观察到的梳显示于图 3g 中，插图显示其在一分钟跨度内的自由运行稳定性，在此期间载波和镜像保持抑制超过 40 dB。在理论确定的工作点处，载波和镜像被精确归零，因此测得的 60 dB 和 53 dB 抑制（分别相对于总输入功率和输出 +1 功率计算）由工作点达到的精确程度以及其在测量积分时间内保持的稳定程度决定。在未来工作中，驱动信号的反馈控制有可能实现甚至更高的抑制并在更长时间内保持。此外，高阶边带，例如包含 11% 输入功率的 −2 阶，未被强烈抑制。未来工作可使用额外谐波来归零更多边带（补充信息第 8.2 节）。
扩展至更多谐波
纳入更高调制谐波可扩展可能输出光谱的范围并改善关键性能指标。例如，使用三个谐波，在向任一阶边带频移时可实现 66% 的转换效率。光刻参数 w_struct 和 w_core 足以将两个共振置于谐波对准，但通常无法强制第三个。与其在单一结构内寻求额外自由度，我们设想将每个谐波分离到其自身优化的结构中（图 4a）。这些结构可通过优化其光机械耦合、机电耦合、微波阻抗匹配和机械品质因数，针对特定谐波进行设计。然后，单个光学波导可串联穿过它们，这在数学上等价于在同一结构内于每个频率处同时调制。每个结构占据 5 µm × 2 mm 的面积，因此例如如图 4a 那样级联三个结构，仅将总占地面积略微增加至约 15 µm × 2 mm。
为实验支持该方法的可行性，我们在修改的器件几何结构（w_struct = 900 nm 和 w_core = 600 nm）中表征了一个相位调制器，其具有在 3.39 GHz 处的光机械耦合共振，该频率处于其来源芯片上模式 1 的三次谐波处。该结构的模拟机械模式和横电光学模式如图 4b 和 c 所示，其半波功率随驱动频率的变化与同一芯片上器件的模式 1 和模式 2 一起显示，频率轴经缩放以显示谐波对准程度（图 4d）。我们还测量了共振处调制深度随施加电压的变化（图 4e）。在 1.5 V 驱动电压下，调制深度超过 0.6 rad，高于最佳三谐波频移转换效率所需的 β₃ = 0.58 rad（图 5a）。这在实验上证实了该平台中三谐波调制是可能的，除了将光学波导路由穿过 w_struct = 1.4 µm 器件和 w_struct = 900 nm 器件之外，无需额外的设计复杂性。
讨论
共振增强使 SiN 平台中高效的吉赫兹频率声光调制成为可能，但迄今为止它已将运行限制于单一驱动音，从而严重限制了可生成的光谱。在此，我们通过工程化声光微结构的机械响应以包含谐波间隔的共振，释放了更大的输出光谱空间，并利用其执行多音相位调制。
本工作中我们确定并生成的三种光谱说明了这一扩展设计空间的范围。最大化向 +1 边带的转换将 50% 的光功率转移到单个边带，比单音调制 33.9% 的上限提高 1.5 倍。图 5a 显示了该最大值如何随驱动音数量增加而进一步改善，未来工作可遵循图 4a 所示架构直接实现（补充信息第 8.3 节）。略微放宽该最大值允许存在一个同时将载波和 −1 边带归零的工作点。在该配置下，我们在 40% 转换效率下测得 60 dB 载波抑制和 53 dB 非期望边带抑制。据我们所知，这些是集成频移器所报道的最大同时抑制[8]。第三种设置产生七线梳，其峰峰功率变化在 2 dB 以内，包含大于 90% 的输入功率。
获得多个谐波可以提高生成单量子比特旋转的效率。超精细量子比特支撑着若干领先的量子计算平台，包括基于 12.643 GHz 的 ¹⁷¹Yb⁺、9.193 GHz 的 ¹³³Cs、8.037 GHz 的 ¹³⁷Ba⁺ 和 6.835 GHz 的 ⁸⁷Rb 的平台[4,5,47,48]。在这些系统中，单量子比特门通过相位调制连续波激光并将该相位调制转换为量子比特跃迁频率 Ω_q 处的幅度调制来驱动。该幅度调制的强度与门的拉比频率成正比，转换可通过陷波滤除一条梳线、干涉滤波或使用色散元件施加频率相关相位来实现[7]。最后一种使用群延迟色散（GDD）元件实现，其转换效率高于前两者，并用于最先进的量子信息处理器[5,9]。
图 5. 多谐波调制的应用特定优势。a 最大可达到的单边带转换效率随谐波相关驱动音数量的变化，通过对调制深度 {β_n} 和相对相位 {ψ_n} 进行数值优化获得。最大的单次提升，从 33.9% 到 55%，来自添加二次谐波。插图显示了三个和六个谐波在最优处所需的调制深度 β_n。b 在群延迟色散元件之后，对于由 Ω 的指定次谐波和谐波组成的驱动（蓝色），在目标频率 Ω_q 处计算生成的幅度调制，与在单音处驱动（橙色）进行比较。插图：多谐波相位调制器后接将相位转换为幅度调制的群延迟色散元件。
GDD 元件通过使其每条梳线的相位按其失谐量的平方推进来工作，从而使由间隔 Ω_q 的梳线形成的成对拍频音符相长叠加而非抵消。我们在图 5b 中显示（计算描述于补充信息第 8.4 节），由 Ω_q 的谐波和次谐波组合组成的驱动产生与在 Ω_q 本身处驱动相当或更大的幅度调制。例如，在 Ω_q/2 和 Ω_q/4 处驱动在 Ω_q 处产生比在 Ω_q 本身处驱动更多的幅度调制，而在 Ω_q/3 和 Ω_q/6 处驱动达到直接驱动值的 97%。直观地说，这是可能的，因为多谐波驱动可以更灵活地配置梳线的振幅和相位，使得显著的拍频音符在通过 GDD 元件传播时相长对齐。
上述分析表明，在多个次谐波处驱动允许器件即使在其频率处没有机械共振也能作用于量子比特跃迁，而不会牺牲每单位递送至调制器的光功率所获得的拉比频率。这一点很重要，因为在更高频率下，机械模式具有较低的品质因数和具有更快空间变化的应变分布，否则可能抑制该平台和其他声光平台作用于常用量子比特种类的能力。此处报道的器件是这一点的直接示例，因为 ⁸⁷Rb 超精细基态分裂为 6.835 GHz，意味着三次和六次次谐波分别为 2.278 GHz 和 1.139 GHz。对于若干测得器件，这两个频率均处于 Ω₂ 和 Ω₁ 的机械线宽之内。此类器件后接集成 GDD 元件（例如啁啾布拉格光栅[51,52]）可以以直接在跃迁频率处驱动的调制器效率的 97% 生成拉比频率。
总体而言，这一类新器件为一个已经证明支持可见波长瓦特级光功率[14,15]、单片 CMOS 电子集成[17]以及若干互补组件[31,35]的平台增加了定性上全新的能力，这些共同使其成为用于囚禁离子、中性原子和固态发射器可扩展量子控制的独特有前景的候选者。
方法
生成编程光谱
数值确定的目标输出光谱通过器件上的闭环优化实现。驱动状态由三个参数指定，即 Ω 和 2Ω 处微波信号的功率及其相对相位。对于每个候选状态，使用图 2d 所示的表征装置测量输出光谱，并相对于目标评估代价函数。由于信号发生器（Berkeley Nucleonics 855b）产生的相对相位在微波功率改变时被打乱，搜索具有一个内环和一个外环，内环针对给定的一对功率优化相对相位，外环优化微波功率。内相位环通过从 0–360° 的粗网格搜索进行优化，并通过自适应步长下降进行细化。外环通过 Nelder-Mead 方法优化。
数值优化
我们通过假设形式如下的相位调制，针对给定光谱数值优化调制参数 {β_n} 和 {ψ_n}
这产生一个输出光谱，其中第 p 阶边带具有场振幅 a_p。然后我们基于目标选择目标函数，并用合适的优化算法优化参数。对于优化图 5a 中的频移转换效率，我们简单地最小化 L = −η₁ = −|a₁|²，同时将每个调制深度限制在至多 3 rad。对于单边带频移（补充信息第 8.2 节），我们最小化 −η₁，但需抑制指定的一组边带阶数 S，目标函数为 L = −η₁ + λ Σ_{p∈S} |a_p|²。在这种情况下，我们将每个调制深度限制在至多 4 rad。最后，对于优化由 GDD 元件产生的幅度调制（图 5b），我们引入一个额外参数 α，其完全概括 GDD 元件所施加的阶数相关相位 θ_n = αn²。然后我们根据补充信息第 8.4 节中给出的表达式最大化在目标频率处产生的幅度调制，并将每个调制深度限制在至多 6 rad，GDD·Ω_q² 限制在至多 15。该 GDD 界限确保所需色散对于典型量子比特跃迁频率是物理上可实现的[52]。
光学和机械仿真
器件光学模式和机械模式的仿真使用 COMSOL Multiphysics FEM 软件，并采用波动光学、固体力学和压电模块进行。
--补充信息--
1 与其他集成频移技术的比较
下面我们提供一个与其他集成光学频移技术的比较表。双并联马赫–曾德尔调制器缩写为 DP-MZM，Bragg AO 指基于布拉格反射的声光器件，intermodal AO 指基于两个不同波导模式之间模式间散射的声光器件。缩写 TFLN 指薄膜铌酸锂。
补充表 1：集成光学频移器。CE：转换效率，CS/SS：所报道的载波和非期望边带抑制。
2 机械和光学模式的建模
补充图 1：光机械建模。a 模式 1 和模式 2 的机械共振频率随结构宽度的变化。共振在大约 w_struct = 1.4 µm 处谐波间隔。b 模式 1 和模式 2 的归一化光机械耦合随结构宽度的变化。c 模式 1 和模式 2 的 xx、yy 和 xy 分量中分数应变能随结构宽度的变化。模式 2 的主导应变项在该结构宽度范围内从 yy 转变为 xx。
2.1 机械共振频率的宽度依赖性
为将器件机械模式的共振频率建模为结构宽度的函数，我们使用考虑线性弹性力学、静电学及二者之间压电耦合的有限元法软件对器件进行仿真。我们使用由此前工作[10]的横截面扫描电子显微镜图像所建议的 3° 侧壁角，以及表 2 中列出的标称层厚度。模式 1 和模式 2 的共振频率显示于补充图 1a 中，我们可以看到它们在约 w_struct = 1.4 µm 处谐波间隔。为便于展示，所显示的仿真结果使用恒定芯宽度 w_core = 1.1 µm。然而，该参数也可扫描，但其对机械共振频率的影响远小于结构宽度。
补充表 2：有限元仿真中使用的层厚度。层从上到下列出。
2.2 光机械耦合
为对给定呼吸模机械共振与结构导波光学模式之间的光机械耦合建模，我们计算光弹和移动边界交叠积分[2]：
在上述内容中，E_i 是光学模式的电场分布，E_∥,i 是平行于芯–包层边界的电场分量，D_⊥,i 是垂直于芯–包层边界的电位移场分量，Δε₁₂ 是芯与包层之间的介电常数差，Δε₁₂⁻¹ 是芯与包层之间介电常数倒数的差，Δε_ij = −ε_ik p_klmn S_mn ε_lj 是介电常数张量的光弹微扰，ε_ij 是未受扰动的介电常数张量，u_i 是机械模式的位移分布，n_i 是芯–包层边界的法向矢量，U_mech 是机械模式每单位长度的能量。在这些计算中，我们对氮化硅使用以下 Voigt 收缩光弹常数：p₁₁ = −0.125，p₁₂ = 0.047，p₄₄ = (p₁₁ − p₁₂)/2 = −0.086。对于二氧化硅，我们使用：p₁₁ = 0.121，p₁₂ = 0.270，p₄₄ = (p₁₁ − p₁₂)/2 = −0.0745[11]。
光学传播常数的变化量与这些归一化交叠积分之和成正比。我们以机械能量的平方根对光机械耦合进行归一化，以便两个机械模式的调制效率可直接比较（前提是它们具有相同的机电耦合和品质因数）。使用这些积分以及器件横截面随 w_struct 变化的电磁和机械仿真结果，我们计算模式 1 和模式 2 与基模横电光学模式的耦合，并将结果显示于补充图 1b 中。我们注意到，总体而言，模式 1 和模式 2 均具有显著的光机械耦合，但模式 2 经历从负耦合（意味着有效折射率的变化与机械振幅反相）到正耦合的转变。在约 w_struct = 1.5 µm 处，耦合经过零点。这种从负耦合到正耦合的变化发生是因为该模式从以 yy 应变为主转变为以 xx 应变为主（补充图 1c）。这两种应变分量通过具有不同符号的光弹系数影响介电常数微扰，最终随着模式 2 的分数 xx 能量增长，其贡献超过 yy 分量的贡献。光机械耦合强度未计入其机电耦合、品质因数以及器件频率相关阻抗的差异，这意味着所观察到的 V_π 由多种因素共同决定，仅凭这些仿真无法预测它。然而，它仍可作为识别哪些机械模式将产生可用相位调制的重要工具。
3 双谐波相位调制
3.1 双谐波光谱
我们考虑一个输入谐波光学信号 U(t) = U₀e^{−iωt}，其角频率为 ω。该信号随后经历角频率 Ω 及其二次谐波 2Ω 处的正弦相位调制，产生如下形式的信号
其中 β₁ 是 Ω 处的调制深度，β₂ 是 2Ω 处的调制深度，ψ 是 2Ω 处调制相对于 Ω 处调制的相位（见第 3.3 节）。根据 Jacobi–Anger 展开，我们可以将其改写为
由此我们可以看到，双音调制产生角频率为 ω − (n + 2m)Ω 的光学信号，其权重为相关贝塞尔函数与相位 mψ 的乘积。因此，这些单个频率（梳线）之一处的总光学信号 Û_p 由相关复振幅的相量求和给出，可写为
因此，通过优化 β₁、β₂ 和 ψ，可以针对某种期望结果优化每条梳线的振幅。
3.2 共振双谐波调制的条件
为精确定义可实现双谐波共振相位调制的条件（即何时可实现谐波对准），必须指定每个频率处所需的最小调制深度以及每个频率处可施加到器件的最大电压。否则，人们可以通过以任意小的调制深度“偏离共振”驱动器件，或以任意大的电压驱动以获得所需调制深度来实现调制。在实践中，需要 π 量级的调制深度才能产生感兴趣的光谱，并且为了与 CMOS 驱动电子器件兼容，期望电压低于约 3 V。我们将每个机械模式建模为具有角共振频率 Ω_n 和能量阻尼率 γ_n 的阻尼谐振子，因此能量谱的半高全宽（以频率为单位）为 γ_n/2π。
由此，半波电压 V_π,n(Ω) 是洛伦兹函数平方根的倒数，因为调制深度与机械振幅（而非能量）成正比。它们具有以下形式
我们现在设模式 1 所需的最小调制深度为 β₁，模式 2 所需的为 β₂。通常，这些值彼此不同；例如，为产生向一阶边带的最大转换，Ω 处所需的调制深度为 1.94 rad，2Ω 处所需的调制深度为 0.88 rad。我们还假设两个模式具有相同的最大电压 V_max，例如，如果与 CMOS 驱动电子器件的兼容性决定了这一约束，则情况如此。我们现在定义无量纲比
其是最大共振调制深度除以所需调制深度。每个模式可产生最小调制深度的频率范围则由下式给出
当模式 1 可产生 β₁ 的频率范围的两倍与模式 2 可产生 β₂ 的频率范围具有非空交集时，实现谐波对准。该交集在以下情况下出现
我们在此指出，对于不能由单一阻尼谐振子很好地描述的机械响应，同样的原理适用，只是模式 1 和模式 2 周围的两个频率范围通常无法写成闭式代数表达式。
3.3 基频调制相位的消除
显式假设 Ω 处调制的相位 ψ₁ 给出
将时间原点平移 τ = −ψ₁/Ω，使 t → t + τ，得到
载波获得全局相位 ωτ，其对任何测得输出光谱均无影响。因此，双谐波相位调制由单一相对相位 ψ = ψ₂ − 2ψ₁ 表征。
4 测量装置
我们设计测量系统，将每个片上光学梳线功率转换为可被 RFSA 测量的独特微波频率处的成比例功率。下面，我们从数学上描述测得信号，包括整个测量中存在的非理想性。这些非理想性最终导致片上光功率与其对应微波功率之间的比例常数具有微弱但不可忽略的频率依赖性。
补充图 2：标注了信号传播的实验示意图。
按照补充图 2，我们考虑一个产生纯正弦相位调制的片上器件，并从数学上追踪光学信号 U(t) 通过我们的测量及其向微波域的转换的传播。角频率为 ω₀ 的连续波激光通过初始分束器传播，其透射和反射系数为 t 和 r，产生
干涉仪 b 臂中的信号随后通过声光移频器，其以角频率 Δ 移动信号，并具有实值振幅效率 η。与此同时，a 臂中的信号被光栅耦合到芯片并从芯片耦合出，其中它被某个周期为 2π/Ω₀ 的周期调制函数 φ(t) 相位调制。这给出
其中 τ_opt(ω) 是通过纤维–芯片–纤维系统的频率相关透射系数，a_n 是 e^{iφ(t)} 的傅里叶级数的第 n 个系数。在正弦相位调制的情况下，调制函数为 φ(t) = β sin(Ω₀t)，傅里叶系数为 a_n = J_n(β)。频率相关透射的出现是因为在输入纤维端面与输入光栅耦合器之间、两个光栅耦合器之间、输出光栅耦合器与输出纤维端面之间等形成了类法布里–珀罗腔。此后，各臂中的信号用第二个分束器干涉组合，产生由下式给出的强度信号
其中 θ_n = 2arg(t*r) + arg(τ_{n,opt}) + arg(a_n)。该强度信号是常数项与以 nΩ₀ + Δ 振荡的项之和，后者对应于从片上器件产生的梳线。该信号由具有频率相关响应度 R(Ω) 的交流耦合高速光电探测器转换为电压 V(t)。该微波信号随后沿连接光电探测器与频谱分析仪（RFSA）的电缆传播，这引入频率相关传播损耗以及由电缆端接之间形成的微波腔，二者共同由单一透射系数 τ_mw(Ω) 描述。忽略被抑制的恒定强度项，由此产生的电压由下式给出
其中 R_n = R(nΩ₀ + Δ)，τ_{n,mw} = τ_mw(nΩ₀ + Δ)，并且假设 θ_n 根据微波透射系数的相位更新。最后，入射到 RFSA 的电压信号的功率谱 P_n 被直接测量，其形式为
其中 P_n 是以 nΩ₀ + Δ 振荡的微波信号的功率，H_n 是集总的频率相关透射。在不存在 H_n 的情况下，每个 P_n 与纯相位调制过程所产生的每条梳线的片上功率成正比，且在所有梳线上具有相同的比例常数。
5 器件统计
我们测量了来自三个不同晶圆（每个晶圆 12 个）的 36 个具有相同横截面设计（w_struct = 1.4 µm 和 w_core = 1.1 µm）的器件。这些器件具有不同的释放支撑结构，也具有不同的长度（从 500 µm 到 2 mm 变化）。在补充图 3 中，显示了模式 2（实线）和模式 1（虚线）的半波功率随驱动频率的变化，模式 1 的频率轴加倍。
补充表 3：两个光机械耦合模式的测得共振频率和调制带宽，取自来自三个晶圆的 n = 36 个具有相同横截面的器件。
从这些数据中，我们提取关于共振频率和带宽的以下统计量：此处，3dB 带宽是指 Vπ 保持在其最小值两倍以内的频率范围。对于式 S6 的计算，这些带宽等于 √3γ_n，因此 γ₁/2π = 9.5 MHz，γ₂/2π = 14.1 MHz。我们将共振频率的散布归因于来自不同晶圆的层的厚度变化。如补充图 3 所示，在来自同一晶圆的器件组内（相同颜色填充），共振频率的散布要小得多。
补充图 3：36 个测得器件的半波功率。相同颜色的曲线表示来自同一晶圆的器件。实线来自模式 2，虚线来自模式 1，其频率轴加倍。
6 品质因数和时域响应
6.1 将调制响应拟合到受驱阻尼谐振子
在大多数机械模式附近，我们在调制响应中观察到一对紧密间隔的峰（补充图 4）。在正文中，模式 1 和模式 2 整体上指这些对，但此处我们将模式 2 分辨为两个组成分裂共振，并将模式 1 保留为单一共振。模式 2 中观察到的这种分裂未被第 2 节的三维模型捕获，该模型假设沿器件平移不变性和自由下边界。与此前工作一样，我们将分裂归因于结构的周期性支撑所形成的声子晶体[10]。由于这些模式具有不同的横截面位移分布，它们与支撑结构的相互作用不同，这可以解释模式 2 分裂而模式 1 不分裂。然而，未来工作需要对分裂进行更详细的建模。
由此，我们将每个组成共振建模为受驱阻尼简谐振子。我们忽略第 7.1 节中处理的非线性耦合，因为本节数据是在 5 dBm（模式 1）和 10 dBm（模式 2）的驱动功率下采集的，此时从补充图 8 数据外推的非线性生成调制深度低于 0.02 rad。第 n 个机械模式的振幅 x_n 随后满足
其中 Ω_n 是角共振频率，f_n(t) 是投影到模式 n 上的压电驱动力，按单位模态质量计。速率 γ_n 是模式的能量衰减率；即在移除驱动器后，模式中存储的能量按 e^{−γ_n t} 衰减，其振幅按 e^{−γ_n t/2} 衰减。品质因数定义为 Q_n = Ω_n/γ_n。
补充图 4：模式 1 和模式 2 的调制响应拟合。a 模式 1 附近调制深度随驱动频率的变化，采用单一拟合机械模式。b 模式 2 附近调制深度随驱动频率的变化，采用双峰机械模式对拟合。单独的拟合以半透明填充显示。
对于施加到致动器的驱动电压 V(t) = V₀ cos(Ωt)，单位模态质量的力为 f_n(t) = (η_n/m_n)V₀ cos(Ωt)，其中 m_n 是模态质量，η_n 是模式 n 的机电耦合系数。由于压电诱导应力与每个模式形状的交叠不同，η_n 在模式之间不同。将稳态写为 x_n(t) = Re[x̃_n(Ω)e^{iΩt}]，模式 n 的复振幅为
光学相移与机械位移场呈线性关系（见第 2.2 节），因此由在同一频率处驱动的若干模式产生的调制是其贡献的相干和。每个模式 n 贡献调制深度 β_n = G_n x̃_n(Ω)，其中 G_n = dβ_n/dx̃_n。总调制随后是 Ω 处的单一正弦，其复振幅为
我们通过将调制深度的大小 |β(Ω)| 拟合到从第 4 节所述测量中提取的边带功率比来测量它。然后我们使用式 (S27) 通过有界非线性最小二乘精确拟合 |β(Ω)|，每个组成分量有三个自由参数（a_n、Ω_n、Q_n）。我们注意到，在共振附近 γ_n ≪ Ω_n 的极限下，β_n(Ω) 是洛伦兹函数的平方根。拟合显示于补充图 4 中，参数列于表 4 中。
补充表 4：模式 1 和模式 2 的式 (S27) 拟合参数。模式 1 由单一阻尼谐振子描述，模式 2 由两个描述。列 |a_n|Q_n/Ω_n² 是每个组成分量在不存在另一个时将会产生的峰值调制深度。
拟合的振幅 a_n 仅约束组合 G_nη_n/m_n，因此机电耦合 η_n 和声光转换系数 G_n 无法仅由调制深度数据分离。
6.2 从测得频率响应推断切换时间
补充图 5：从测得频率响应推断的脉冲响应。a 在宽频率范围内调制深度随驱动频率的变化，六模式拟合以虚线显示。b 在模式 1 处对矩形电压脉冲的推断调制响应。c 在模式 2 处对矩形电压脉冲的推断调制响应。
我们在从 500 MHz 到 5 GHz 的频率范围内测量 |β(Ω)|，在该范围之外我们预计不会观察到显著的调制响应（补充图 5a）。将电压信号 V(t) 到光学相位调制信号 φ(t) 的变换建模为线性系统，我们必须知道 β(Ω) 才能计算脉冲响应函数，进而计算切换时间。通常，存在无限多个与 |β(Ω)| 一致的可能的相位分布 e^{iψ(Ω)}，然而在我们的系统中，这受到物理的强烈约束。如第 6.1 节，我们假设调制响应是简谐振子之和，给出
由此，频率响应的相位分布由实值 a_n 系数的相对符号设定。使用 |β(Ω)| 数据，我们将六个机械模式拟合为单一或双重简谐振子。为界定这种相对符号模糊性的影响，我们使用下式计算每种可能的 32 种相对符号配置的推断脉冲响应函数
任何驱动电压产生的相位调制随后由下式给出
由此，我们使用这些脉冲响应计算载波频率处于模式 1 和模式 2 共振处的矩形电压脉冲的时域响应，并显示于补充图 5b 和 c 中。10–90% 上升时间的总范围为模式 1 的 101.4 ns 至 102.0 ns，模式 2 的 94.1 ns 至 94.5 ns。我们在正文中报告最坏情况值。
7 机械非线性
7.1 共振增强机械二次谐波产生
通过设计，这些器件在角频率 Ω₁ 和 Ω₂ 处分别具有近似谐波间隔的机械模式（模式 1 和模式 2）。因此，当模式 1 中存在机械能时，它可通过二阶机械非线性耦合到模式 2[12,13,14]。我们用一组表示受驱阻尼非线性谐振子的微分方程对该系统建模：
其中 x_i 是模式 i 的振幅，γ_i 是模式 i 的阻尼率，Ω_i 是模式 i 的共振角频率，α 是二阶非线性强度，x = x₁ + x₂ 是总机械振幅，f(t) 是系统的外部驱动。我们考虑形式为 f(t) = f₀ cos(Ωt) 的驱动项，其中假设 Ω 接近 Ω₁。然后我们忽略方程 (S31) 中的非线性项 αx² = α(x₁² + 2x₁x₂ + x₂²)，因为我们假设 x₁² 和 x₂² 项没有以 Ω 振荡的分量，因此对 x₁ 没有显著贡献（旋转波近似）。我们进一步假设反作用项 2x₁x₂ 足够小以致可忽略。我们还注意到，假设非线性强度 α 包含非线性压电效应[15]，并且为简单起见，我们省略显式压电耦合。
由此，我们继续求解线性受驱阻尼谐振子 x₁ 的稳态，然后使用该解计算 x₂ 的非线性驱动稳态。
假设形式为 x₁(t) = A₁ cos(Ωt + θ₁) 的稳态，其中 A₁ 和 θ₁ 为实值，可得
由此，我们求解 x₂ 的稳态，计入其共振附近 Ω₂ 处的有效非线性驱动力。我们忽略直接驱动力 f(t)，因为它远失谐于 Ω₂。非线性驱动力由 αx₁² 项产生，由 f_NL(t) = −(αA₁²/2)cos(2Ωt + 2θ₁) 给出。由此，我们假设形式为 x₂(t) = A₂ cos(2Ωt + θ₂) 的解求解 x₂ 的稳态，其中 A₂ 和 θ₂ 同样为实值。我们得到
在补充图 6 中，我们将这些解析稳态解与对式 S31 和 S32 不做任何近似所得的全数值解一起显示。解析推导的模式振幅对驱动强度的线性和抛物线依赖性，与数值解在驱动功率高到足以使大量振幅从模式 1 转移到模式 2 之前高度一致。在实际实验中，我们预期我们的器件处于这种未耗尽泵浦区域，其中解析近似是有效的。
补充图 6：共振机械二次谐波产生模型。a 基于式 S33 和 S34 近似的模式 1 和模式 2 振幅的解析解。b 基于式 S31 和 S32 不做近似的模式 1 和模式 2 振幅的数值解。
7.2 非线性声光相位调制
一旦找到 x₁ 和 x₂ 的稳态，只要知道每个模式的调制深度与应变振幅之间的比例常数 dβ_i/dx_i，就可以确定非线性对观察到的相位调制梳的影响。有了这两个常数（它们是光机械耦合率的缩放版本），我们得到光学信号的形式为
在作为正文主题的双谐波实验中，我们同时在频率 Ω（接近模式 1 的共振频率）和 2Ω（接近模式 2 的共振频率）处驱动器件。因此，根据上述分析，我们预期有效观察到三种不同的正弦调制：在 Ω 处具有深度 β₁ 的直接驱动调制，在 2Ω 处具有深度 β_{2,lin} 的直接驱动调制，以及在 2Ω 处具有深度 β_{2,nl} 的非线性生成调制。光学信号随后具有以下形式
其中 ψ_{lin} 是模式 1 和模式 2 处调制之间编程的相位差，ψ_{nl} 是由上述各节所述物理决定的模式 2 处非线性驱动的相位。
2Ω 处的线性（直接）和非线性调制合并为形式为 β₂ sin(2Ωt + ψ) 的单一调制项，其中
这意味着信号发生器所施加的相位（即 ψ_{lin}）实际上并非 2Ω 处调制信号的相位。然而，这些动力学不改变哪些光谱能够或不能够生成。
7.3 对测得相位调制的拟合
在正文图 3b–e 中，我们将器件在 Ω 和 2Ω 处的驱动功率固定，并扫描这两个信号之间的相对相位。在不存在上述非线性时，观察到的向正负第 p 阶边带的转换效率（CE_p 和 CE_{−p}）作为该相对相位的函数应对称。这是因为第 p 阶边带中的场振幅在 π 的相位平移下满足以下条件：
其中我们从式 (S5) 出发，利用了贝塞尔函数的性质 J_p(β) = (−1)^p J_{−p}(β)，并重新索引 k。由此清楚可见，CE_p(β₁, β₂, ψ + π) = CE_{−p}(β₁, β₂, ψ)。
非线性的存在不改变这一事实。然而，从测量的角度来看，表面上编程的相位实际上只是 ψ_lin；因此，根据式 (S38)，2Ω 处的调制深度随所施加相位而变化。出于这一原因，正文图 3c–e 中每个图内的两条曲线并非彼此的镜像。
为验证这种缺乏对称性的原因确实源于此类非线性，我们进行了若干测量，其中我们将施加在 Ω 和 2Ω 处的功率固定，并扫描这些驱动信号之间的相对相位经过完整 2π 周期。在每次相位扫描测量之间，我们增加施加在 Ω 处的功率。然后我们将这些若干相位扫描中观察到的边带转换效率拟合到一个模型，该模型假设式 (S37) 所示的信号，其中拟合参数为 β₁、β_{2,lin}、β_{2,nl} 和 ψ_{nl}。其结果展示于补充图 7 中。如第 4 节所述，通过装置存在频率相关透射系数，拟合对此也予以计入。这些透射系数可以解释正文图 3c–e 中曲线对在反射后整体比例因子的差异，但无法解释形状差异。这种形状差异在正文图 3e 中尤为明显，且由机械二次谐波产生引起。出于这一原因，我们还为每次相位扫描的每一阶拟合一个比例因子，并在补充表 5 中报告统计量。相对较小的标准差证明频率相关透射系数在若干次测量过程中变化不大。
补充图 7：转换效率对相位的依赖性及拟合非线性模型。彩色圆圈为测量值，其颜色对应于正文图 3 中的相同边带，黑色实线来自包含非线性的拟合理论。
补充表 5：表征链在边带阶 p 处的透射比例因子 H_p，汇总自非线性模型的九次相位扫描拟合。由于 H_p 描述测量装置而非器件的频率相关透射，预期其与 Ω 处的驱动功率无关。
从这些拟合中，我们获得各拟合参数对施加在 Ω 处电压的函数依赖性。该施加电压作为模式 1 应变振幅的代理，因为如我们从式 (S33) 可见，该振幅与施加力成正比，而对于压电驱动系统，施加力与施加电压成正比。拟合参数 β₁、β_{2,lin} 和 β_{2,nl} 分别作为模式 1 由 Ω 处驱动直接生成的应变振幅、模式 2 由 2Ω 处驱动直接生成的应变振幅，以及非线性生成的模式 2 应变振幅的代理。这些量是良好的代理（成比例量），因为由机械模式存在引起的声光诱导调制深度与其应变振幅成正比。
基于模式 1 和模式 2 应变振幅的式 (S33) 和 (S34)，我们预期 β₁ 应随施加在 Ω 处的电压线性变化，β_{2,lin} 应完全不变化，而 β_{2,nl} 应二次变化（假设 β₁ 确实线性变化）。这正是我们在补充图 8 所示结果中观察到的。我们还注意到，我们表征了信号发生器本身的谐波抑制，发现当仅在 Ω 处驱动时，其在 2Ω 处产生的调制深度并非微不足道，但在 3 V 最大施加电压下比上述效应大约小五倍。
补充图 8：非线性拟合总结。a 拟合调制深度 β₁ 随施加在 Ω 处电压的变化。b 拟合线性调制深度 β_{2,lin} 随施加在 Ω 处电压的变化。c 拟合非线性调制深度 β_{2,nl} 随施加在 Ω 处电压的变化。
8 使用更多驱动谐波的运行
8.1 N 个谐波下的梳振幅
设有 N 个驱动谐波，其中第 n 个谐波在相位 ψ_n 处产生调制深度为 β_n 的相位调制。这产生如下形式的光学信号
式 S46 表明，光学场是由每个谐波单独产生的雅可比–安格尔展开相位调制的乘积。所得乘积中的每一项从每个展开中获取一次频移，使光学频率移动 k_n nΩ。这意味着要找到光学角频率 ω − pΩ 处的振幅，我们必须对式 S46 乘积所产生的、满足以下条件的所有项求和：
现在，为简洁地写出第 p 阶场振幅（即光学场在角频率 ω − pΩ 处的傅里叶系数）的表达式，我们如下定义函数 f : ℤ^N → ℤ：
由此，第 p 阶场振幅 Û_p 为
式 S46 可用补充图 9 进行直观解释。在补充图 9 中，对于 N = 5 的情况，多音相位调制被显示为在每个谐波处依次发生的单独相位调制。从第 n 层节点到第 n+1 层节点的连接由 (n+1)Ω 处调制所产生的贝塞尔权重（和相位）产生。由此，式 S49 中的求和取自所有从根层中的输入连续波信号到达最终层第 p 个节点的路径。当然，当 p 不象补充图 9 中那样被任意截断时，这样的路径有无限多条，但在实践中，每个调制所允许的调制深度限制了必须进行数值考虑的光谱范围。
补充图 9：N 谐波相位调制的图表示。节点表示第 p 阶边带处的振幅，节点之间的连接是该级相位调制所产生的权重。例如，CW 输入与 p = 2 节点之间的权重为 J₂(β₁)。
一旦识别出这些路径，每条路径贡献的振幅就由该路径各组成段的贝塞尔函数和相位权重的乘积确定。
8.2 使用更多驱动谐波抑制更多边带
在正文中，我们确定并生成了一种光谱，其载波和 −1 边带被高度抑制，同时将测得的 40% 功率转换到 +1 边带。在此，我们研究增加更多驱动谐波对以下能力的影响：在保持相对较高的向 +1 边带转换效率的同时，抑制越来越多的边带。使用式 S46，我们在以下约束下优化相位调制中每个组成谐波的调制深度和相位：在保持向 +1 边带至少 10% 转换效率的同时，尽可能多的邻近边带被抑制 50 dB。我们还将每个谐波可用的调制深度限制为 4 rad，这低于这些器件在失效前已实验达到的最大值[10]。边带被逐步抑制的顺序遵循 (0, −1, −2, +2, −3, +3)。补充图 10 显示了这些优化光谱随驱动谐波数量的变化，补充表 6 包含产生它们所用的参数。我们经验性地发现，可被同时抑制超过 50 dB 的阶数等于驱动谐波的数量。
补充图 10：在单边带频移中抑制更多边带。a–f 谐波数量从 N = 1 到 N = 6 的驱动所对应的优化光谱。
补充表 6：用于单边带频移且逐步抑制更多阶数的最佳多谐波驱动参数。
8.3 使用更多驱动谐波改善转换效率
使用式 S46 并再次对可用调制深度和相位集合进行优化，我们数值优化向 +1 边带的转换效率随驱动谐波数量的变化。该优化的结果传达于补充表 7 中。对于该特定目标光谱，调制谐波的权重和相位收敛到一个在时域中生成锯齿波形（锯齿频移）的解。在该极限下，最佳参数趋近 β_n = 2/n，其符号由 ψ_n 交替。
补充表 7：最大可达到的单边带转换效率随可用谐波数量 N 的变化。对于每个 N，优化调制深度 β_n 和相对相位 ψ_n，以在对其余阶数无约束的情况下最大化向 +1 边带的转换。通过设定 ψ₁ = 0 固定相位原点；对于所有 N，最优解在 ψ_n = 0 和 180° 之间交替。
8.4 多谐波和次谐波单量子比特门生成
考虑输入光学信号 U_in(t) = e^{iφ(t)}，其中相位调制函数 φ(t) 是谐波正弦之和：
我们最终关注的是计算该信号的强度，因此为简单起见，我们省略显式载波频率项（e^{−iωt}）和总场振幅（U₀）。由于光学信号以 2π/Ω₀ 为周期，我们可以将其写为
显然，U_in(t) 产生恒定强度。在频域中，这即是如下陈述
对所有非零 k 成立，其中 D_k 是频率 kΩ₀ 处强度调制信号的傅里叶系数。换言之，对于纯相位调制光学信号，由间隔 kΩ₀ 的光学梳线形成的每个成对拍频音符的贡献精确求和为零。为将其转换为强度调制以驱动单量子比特门，通常利用群延迟色散元件[16]。此类元件对光学信号施加频率相关相移，产生如下形式的输出光学场
其中 α = ½ GDD·Ω₀²，GDD 是群延迟色散。kΩ₀ 处的强度调制随后由下式给出
人们可以在此停止，并使用式 S49 的结果对驱动谐波的调制深度和相位进行 D_k 的优化。然而，通过注意到上述表达式与时延干涉仪的表达式相似，我们可以获得更具描述性的表达式。
将 U_in(t) 与其自身的时间延迟副本干涉产生的强度信号 G(t) 为
其中 τ 是时间延迟。由此，G(t) 在 kΩ₀ 处的傅里叶分量为
如果时间延迟为 τ = 2kα/Ω₀ = k·GDD·Ω₀，则这与式 S55 在全局相位上精确具有相同形式。因此，由 U_out(t) 产生的强度调制的第 k 个傅里叶系数可以如下方式表达：
其中 ⟨·⟩_t 表示在周期 2π/Ω₀ 上的时间平均。我们现在考虑 Δφ(t) = φ(t) − φ(t − τ)。使用式 S50，我们有
其中 b_m = 2β_m sin(mkα)，t′ = t − τ/2。以与第 8.1 节推导类似的方式，我们可以将式 S61 时间平均内的项写为
其中我们省略了 t′ 上的撇号，因为时间平移的唯一效果是全局移动 D_k 的相位。现在，为根据式 S61 计算 D_k，我们必须识别式 S65 中以 kΩ₀ 振荡、从而不会被时间平均抹去的那些项。这些项是满足下式的项
由此，D_k 可表示为式 S65 中以 kΩ₀ 振荡的项的系数之和：
其中函数 f : ℤ^M → ℤ 的定义类似于第 8.1 节。式 S67 的大小给出相位调制在频率 kΩ₀ 处转换为幅度调制的效率。这种将问题重新表述为时延干涉仪的形式有一个很好的解释：第 k 阶效率由被 Δφ(t) 相位调制的信号的傅里叶系数给出。
在 Ω₀ 处具有调制深度 β 和相位 ψ 的单音相位调制的简单情况下，这简化为
由于 U_in 没有显式场振幅，|D_k| 可被视为相位调制转换为幅度调制的效率，并且我们观察到式 S68 中的结果与此前工作[16]一致。
使用式 S67，我们可以数值找到最佳的 β_m 和 ψ_m，其将 mΩ₀ 处的相位调制转换为某个量子比特跃迁频率 Ω_q = kΩ₀ 处的幅度调制。
补充表 8：对于由目标频率 Ω_q 的谐波和次谐波组成的驱动，计算通过群延迟色散元件的相位到幅度转换。对于每个驱动，优化调制深度 β_n 和色散，以最大化在 Ω_q 处产生的幅度调制深度 η。
