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超透镜加工
非晶硅 氧化钛 氧化钽 氮化硅 等
摘要
我们提出了一种混合反射镜设计，将嵌入式超表面置于布拉格反射器下方，将超表面反射镜的低涂层布朗噪声与传统多层涂层的低光学损耗相结合。与以前将超表面置于输入表面的混合设计不同，我们的设计将其置于布拉格堆叠下方，减少了入射到易损耗谐振层上的光场。对于在 1064 nm 下工作的设计，我们表明这将吸收从裸超表面的 24 ppm 降低到混合结构的 7 ppm。我们引入了一种计算任意耦合强度下混合超表面-多层反射镜涂层布朗噪声的通用方法，扩展了先前的方法，将光束尺度的平均场贡献与超表面的周期性亚波长尺度响应相干结合。将此应用于我们的设计，我们发现相对于等效反射率布拉格反射镜，布朗噪声幅度谱密度降低了 1.6 倍。最后，我们表明该设计比裸超表面反射镜具有更高的角度容差，在 1° 的角度范围内保持更高的反射率。这项工作为将低噪声超表面反射镜纳入精密光学腔提供了一条实用途径，同时最小化光学损耗和角度敏感性。
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文章名：Loss-tolerant hybrid metasurface mirror for reducing coating Brownian noise in precision optical cavities
作者：Swadha Pandey,¹,∗ Evan D. Hall,¹ Peter Fritschel,¹ and Matthew Evans¹
单位：¹LIGO Laboratory, Department of Physics, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA 02139, USA
Ⅰ. 引言
由高反射布拉格反射镜涂层材料中的机械损耗引起的涂层布朗噪声，是精密物理实验中的限制性噪声源，从引力波探测器 [1] 到原子钟 [2]。目前正在采取两种主要方法来解决这一限制。第一种是寻找并使用具有固有更低机械损耗的材料，包括非晶 [3, 4] 和晶体 [5, 6]。第二种是将具有互补特性的材料——通常是将具有较低机械损耗和较高光学损耗的材料与具有较高机械损耗和较低光学损耗的材料——在优化的层配置中结合，以捕获两者的优势 [7, 8]。这种多材料方法在最近的工作中引起了越来越多的关注 [9]。
第三种方法使用超表面，超表面是由单层周期性亚波长纳米结构形成的共振反射镜 [10, 11]。高反射率通过纳米结构支持的导模共振的共振干涉实现，而不是通过传统布拉格堆叠中使用的许多四分之一波长层的相长干涉实现。这种方法的动机是，超表面可以使用少得多的涂层材料实现高反射率，仅需数百纳米，而不是高反射布拉格堆叠所需的数微米，这在原则上可能导致更低的整体布朗噪声 [12, 13]。然而，单层超表面反射镜对制造误差高度敏感，并且容易产生高光学损耗，并且实验上实现其高理论反射率已被证明是困难的 [14, 15]。最近的工作将超表面反射镜与布拉格堆叠结合，我们称之为混合方法 [13, 16–18]，在概念上类似于上述多材料路线。在这些设计中，超表面反射镜放置在缩减的布拉格堆叠顶部，允许在实验上实现高总反射率，同时保留超表面提供的布朗噪声降低。然而，这并没有解决超表面结构本身容易产生的高光学损耗问题。
这种高光学损耗源于谐振结构对制造不规则性的敏感性，这导致高吸收和散射。我们提出了一种混合设计，在不改变超表面本身制造公差的情况下减轻由此产生的光学损耗。通过将超表面嵌入玻璃中而不是使其保持空气包层，如图1所示，我们可以将其置于缩减的布拉格堆叠下方。然后，布拉格堆叠减少了入射到超表面上的电磁场，降低了超表面引入的光学损耗量，同时保留其布朗噪声优势，如我们在第IV节中所示。
在第II节中，我们详细介绍了这种反射镜架构，并提出了一个在 1064 nm 下工作的潜在实现方案。使用真实的材料吸收水平，我们表明该设计实现了高反射率，吸收为 7 ppm，而裸超表面为 24 ppm。在第III节中，我们简要概述了一种可能的制造工艺。在第IV节中，我们提出了一种通用方法，用于严格计算超表面与布拉格堆叠之间具有任意耦合强度的混合反射镜的布朗噪声，扩展了用于周期性超表面结构 [12] 和多层涂层 [20] 的现有方法 [19]，以相干地结合它们各自的贡献，并表明我们的设计相对于等效反射率布拉格反射镜将布朗噪声幅度谱密度降低了 1.6 倍。随着涉及超表面的反射镜设计引起越来越多的关注，这种计算其涂层布朗噪声的通用方法将使得能够与其他反射镜设计进行有意义的比较，使我们能够现实地评估其优势。在第V节中，我们检查了该设计的角度敏感性，这是超表面反射镜的一个已知局限性，并表明在 1° 的角度范围内，它比裸超表面反射镜保持更高的反射率。我们相信，这一设计是将超表面纳入精密测量实验的重要一步，这些实验对可容忍的光学损耗施加了严格的限制。
表I. 为在波长 1064 nm 下工作而设计的反射镜的参数值：嵌入式 Ta₂O₅ 柱的宽度 (w₀)、高度 (h₀) 和周期 (Λ₀)，以及中间 SiO₂ 层的高度 (h_int)，如图1所示。n_layers 是超表面上方 Ta₂O₅ 和 SiO₂ 交替四分之一波长层的总数。
Ⅱ. 设计
所提出的反射镜架构如图1所示。我们首先考虑单层嵌入式超表面反射镜，由玻璃衬底上的矩形五氧化二钽（Ta₂O₅）纳米柱的一维阵列组成，宽度为 (w₀)，高度为 (h₀)，周期为 (Λ₀)。柱被相同高度 h₀ 的二氧化硅（SiO₂）层包围。如图1所示，该结构在 x̂ 方向上是周期性的，光沿 −ŷ 方向入射。我们使用严格耦合波分析（RCWA）[21] 对反射镜进行仿真，并优化反射镜参数 w₀、h₀ 和 Λ₀，以通过激发导模共振 [10] 来最大化法向入射下波长 λ₀ = 1064 nm 的横电（TE）偏振光（沿 ẑ 方向）的反射率。优化参数的值显示在表I中。为简单起见，我们考虑单一偏振和一维阵列，尽管通过使用二维超表面可以使设计对偏振不敏感。我们选择 Ta₂O₅ 和 SiO₂ 作为我们的材料，因为它们用于当前的引力波探测器并且具有低固有机械损耗 [22]。然而，我们的方法直接适用于不同的材料以及二维阵列。
然后我们也使用 RCWA 对图1所示的混合反射镜架构进行仿真。优化的嵌入式超表面反射镜放置在由 Ta₂O₅ 和 SiO₂ 交替层组成的缩减布拉格堆叠下方。布拉格层对的数量是一个自由设计参数——增加它会提高可实现的总反射率并进一步减少到达超表面的场，代价是额外的涂层厚度。我们在这里使用 7 对作为说明性示例。中间 SiO₂ 层放置在超表面上方和布拉格堆叠下方，其高度 h_int 被选择为使来自超表面和布拉格堆叠的反射相位匹配，以便它们相长干涉。h_int 通过基于 RCWA 的参数扫描确定，以最大化总反射率。如上所述，超表面层因其对制造不规则性的敏感性而容易产生光学损耗。将其埋在布拉格堆叠下方允许反射镜实现高总反射率，同时减少到达超表面的电磁场，这反过来降低了设计的整体光学损耗。这种混合涂层的总高度为 2.7 µm，共 16 层（14 个布拉格层、一个中间层和一个超表面层），而由相同材料组成的等效反射率布拉格堆叠将需要 36 层和 5.8 µm 的总厚度。这种总厚度的减少预计将降低涂层布朗噪声，如第IV节所详述。
表II. 分析中使用的 Ta₂O₅ 和 SiO₂ 材料参数：消光系数 (k)、折射率 (n)、机械损耗 (φ)、杨氏模量 (Y)、泊松比 (ν)。离子束溅射（IBS）值取自参考文献 [22–24]。消光系数 (k) 因不同的材料沉积技术而异，中间层和布拉格层使用 IBS，超表面使用原子层沉积（ALD）.
为了说明该设计的优势，我们首先使用无损耗材料仿真单层裸嵌入式超表面反射镜。然后，我们引入已知会在通过原子层沉积（ALD）等技术沉积的薄膜中发生的真实吸收，使用表II中列出的 ALD 沉积 Ta₂O₅ 和 SiO₂ 的折射率 (n) 和消光系数 (k) 值，应用于超表面的柱和周围的嵌入层。消光系数值从我们自己对 ALD 沉积非晶氧化物的测量中外推，基于两种材料都是在相似工艺条件下沉积的氧化物；该估计在附录中详述。我们强调，这些消光系数值旨在作为代表真实纳米制造诱导吸收的数量级估计，以便现象学地研究预期的光学损耗。然后我们仿真完整的混合设计，为此我们假设中间层和四分之一波长布拉格层采用离子束溅射（IBS）沉积，这是当前引力波探测器涂层的最先进技术，使用相应的消光系数 [22]，也在表II中列出。衬底是熔融石英，我们使用与表II中 IBS 沉积 SiO₂ 相同的光学和机械参数。
图1. 反射镜设计，参数经过优化以最大化波长 1064 nm 处横电（TE）偏振光的反射率。左图：嵌入式超表面反射镜，由熔融石英衬底上的五氧化二钽（Ta₂O₅）纳米柱的一维阵列组成，宽度为 (w₀)，高度为 (h₀)，周期为 (Λ₀)。Ta₂O₅ 纳米柱嵌入在相同高度 (h₀) 的薄膜二氧化硅（SiO₂）层中。右图：混合反射镜设计，其中嵌入式超表面反射镜埋在由 7 对 Ta₂O₅ 和 SiO₂ 交替四分之一波长层组成的布拉格堆叠下方，并具有高度为 h_int 的中间 SiO₂ 层用于相位匹配。
图2. 各种优化反射镜设计的反射率（顶部）、透射率（中部）和吸收（底部）光谱：无损耗嵌入式超表面（蓝色）、有损耗嵌入式超表面（红色）、完整混合设计（绿色）。
所得的反射率 (R)、透射率 (T) 和吸收 (A) 光谱如图2所示。无损耗超表面实现了高反射率，一旦将吸收引入超表面材料，反射率就会降低。混合结构恢复了这种反射率并拓宽了带宽，因为布拉格堆叠与单独超表面的窄共振相比具有固有更宽的反射带。对于相同的两种设计，总吸收从有损耗超表面的 24 ppm 降低到混合结构的 7 ppm，与总损耗 (1 − R，从 24 ppm 到 7 ppm) 的降低相匹配，并且与两种情况下的透射率保持可忽略一致。
我们已经考虑了光学损耗的一个特定来源，即沉积材料中的吸收。然而，负责减少吸收的相同场抑制机制预计也会减少其他损耗通道，例如来自表面粗糙度的散射和对纳米结构尺寸误差的敏感性，因为这些也随超表面处的电磁场强度缩放。
为了进一步说明我们提出的混合设计的机理，我们在图3中展示了一维阵列单个单元的 TE 场的归一化电场分布。场从顶部进入，大部分被 14 层布拉格堆叠反射。较小部分的场与超表面相互作用，这与图2中所示的混合设计的吸收减少一致，然后被共振反射，在超表面层中可见共振模式。
图3. 在共振波长 1064 nm 下周期一维阵列单个单元的 TE 场电场分布。场从顶部进入，首先与布拉格堆叠相互作用，然后是超表面。
Ⅲ. 制造概述
对于图1左侧所示的嵌入式超表面，我们建议首先使用电子束光刻（EBL）和原子层沉积（ALD）制造 Ta₂O₅ 矩形柱阵列，其工艺类似于其他非晶氧化物超表面的制造方法 [25]。然后可以通过 ALD 或化学气相沉积（CVD）沉积周围的 SiO₂。ALD 为更高纵横比的沉积提供更好的保形性，以及更好的总层高度公差，匹配设计所需的柱高度 h₀，但相对于 CVD 具有显著的时间成本。然后将过度沉积的 SiO₂ 回蚀以在柱高度 h₀ 处平坦化表面，产生嵌入式超表面。需要大量的工艺开发来最小化来自材料吸收和散射的光学损耗，后者来自薄膜沉积缺陷（如空洞和针孔）以及制造引起的表面粗糙度。对于未图案化的层，中间 SiO₂ 间隔层和四分之一波长 Ta₂O₅/SiO₂ 布拉格层，我们建议采用离子束溅射（IBS），与当前引力波探测器涂层实践一致 [26]。该制造工艺的完整实验演示留待未来工作。
图4. 所提出的混合设计（蓝色）和等效反射率布拉格堆叠（红色）的涂层布朗噪声幅度谱密度随频率的变化。
Ⅳ. 涂层布朗噪声
在本节中，我们提供了一种计算混合反射镜涂层布朗噪声的通用方法，即结合超表面和布拉格堆叠的各种配置。我们通过计算我们特定混合设计的涂层布朗噪声来说明该方法，突出其噪声优势。此类计算已针对超表面和布拉格堆叠之间低耦合的混合设计进行，通过非相干地对每个组件的布朗噪声贡献求和 [13, 17]。对于我们的反射镜，由于两个组件之间的相长干涉导致强耦合，需要整体和相干的计算。本节概述的方法普遍适用于组件之间的任何耦合水平。
为了计算我们设计的混合反射镜的布朗噪声，我们应用直接的 Levin 方法 [19]，使用图3所示周期阵列单个单元的电磁模式（使用 RCWA 获得），从麦克斯韦应力张量计算我们结构每个界面处的虚拟压力分布。由于我们结构的周期 Λ₀ 远小于入射光束半径 r₀，每个这样的压力分布包含两个物理上不同的分量：一个随 r₀ 变化的周期平均部分，以及一个随 Λ₀ 变化的零均值、周期尺度剩余部分。用有限元分析处理的周期性单元捕获对周期尺度分量的弹性响应，如参考文献 [12] 所示。为了计算对光束尺度分量的响应，需要参考文献 [20] 的无限半空间处理。因此，我们通过将总涂层布朗噪声功率谱密度（PSD）分解为三个相干组合的贡献来获得，
第一项 S_yy^(1)(f) 来自在 r₀ 长度尺度上变化的平均场力，通过将参考文献 [20] 的涂层布朗噪声公式应用于我们由七个布拉格对、中间层和均匀化超表面层组成的完整层堆叠来获得。第二项是周期项 S_yy^(2)(f)，使用从具有周期性边界条件的单元的有限元分析在周期性压力分量下获得的精确应变能密度计算，如参考文献 [12] 所述，然后进行高斯光束阵列积分。最后，存在一个交叉项 S_yy^(cross)(f)，来自两个场的相干重叠。完整计算在附录中详述。
所得的涂层布朗噪声的投影幅度谱密度（ASD）绘制在图4中，同时绘制了由相同材料 Ta₂O₅ 和 SiO₂ 组成的等效反射率布拉格堆叠 [20, 23] 的计算布朗噪声。我们取入射光束半径为 r₀ = 62 mm，与 Advanced LIGO 中使用的值一致。所使用的材料特性列于表II中。这对应于相对于等效反射率布拉格堆叠，布朗噪声 ASD 降低了 1.6 倍。平均场项 S_yy^(1)(f) 在总量中占主导地位，在 100 Hz 时占 PSD 的 96.23%，周期项和交叉项分别贡献 2.24% 和 1.53%。由于我们选择了七个布拉格对，光束尺度平均场响应是我们设计中布朗噪声的主要贡献者。减少布拉格对的数量将增加周期项和交叉项的贡献，因此正确考虑它们对于严格处理混合结构中的布朗噪声至关重要。
Ⅴ. 角度敏感性
最后，我们考虑所提出器件的角度敏感性。超表面反射镜由于其共振机制，已知与布拉格反射镜相比极度角度敏感 [27]。我们通过在周期阵列平面（即图1中的 xy 平面）内改变入射角，在共振波长 1064 nm 处检查这一点。我们绘制了第II节中指定的无损耗和有损耗裸嵌入式超表面在 1° 角度范围内的总损耗 1 − R，并将其与混合设计的总损耗进行比较，如图5所示。在接近法向入射时，所有设计都展示了其共振时的总损耗。在较大的入射角下，它们的行为发生分歧：两个裸超表面设计的损耗随着共振条件不再满足而急剧上升，而混合设计的损耗保持基本更低并趋于平缓，因为响应越来越受布拉格堆叠固有更宽的角度接受度的支配。这种改进的角度容差是将此类反射镜纳入实际大规模实验的重要考虑因素。
图5. 在共振波长 1064 nm 处，在 1° 范围内，无损耗（蓝色）和有损耗（红色）裸嵌入式超表面与混合设计（绿色）的总损耗（1−R，其中 R 是反射率）随入射角的变化。
Ⅵ. 结论
我们提出了一种新型低涂层布朗噪声反射镜，它在同时最小化光学损耗的配置中结合了超表面和布拉格堆叠。我们通过设计一种嵌入式超表面来做到这一点，该超表面可以使用中间相位匹配层放置在布拉格反射镜下方，从而保留超表面反射镜的高反射率和低布朗噪声优势，同时最小化与更易损耗的超表面层相互作用的入射光比例。与以前将超表面置于输入表面并因此暴露于完整入射场的混合设计不同，我们的布拉格下方排序直接减少了这种暴露，从而减少了整体光学损耗。我们已在仿真中证明，对于考虑吸收损耗的特定示例，这将光学损耗降低了 3 倍以上，从裸超表面的 24 ppm 降低到我们混合设计的 7 ppm。我们预计这种降低也会定性地转化为散射损耗，尽管散射损耗的定量建模留待未来工作。所设计的反射镜还仅使用 2.7 µm 的涂层厚度实现了高反射率 R（1 − R = 7 ppm），而等效反射率布拉格堆叠为 5.8 µm。我们强调，这里使用的具体参数，包括选择 7 个布拉格对，是对该架构的说明，而不是声称的最佳值，并且相同的设计原理直接适用于其他工作波长和材料系统。
我们还提供了一种通用且严格的方法来计算混合超表面-多层反射镜的涂层布朗噪声，扩展了用于周期性超表面结构和多层涂层的先前方法，以相干地结合它们各自的贡献。使用这种方法，我们表明我们的混合设计相对于等效反射率布拉格堆叠实现了涂层布朗噪声降低 1.6 倍。这一改进对当前的精密测量实验很有意义，因为涂层布朗噪声已经限制了光学原子钟的稳定性 [28] 以及地面引力波探测器在中频段的灵敏度 [29]，这种量级的降低可以直接转化为两者灵敏度的提高。最后，我们表明混合设计也比裸超表面反射镜具有更大的角度容差。
虽然我们概述了制造所设计反射镜的可能途径，但我们预计在实现这一制造之前需要许多工艺开发步骤，并且扩大到大面积反射镜对于将此类反射镜纳入大规模实验（特别是引力波探测器）至关重要。在本文中，我们考虑了单一偏振和一维超表面阵列；将此设计扩展到二维阵列将实现偏振不敏感操作。这是否可取取决于具体应用，因为一些实验可能反而受益于本文提出的一维设计的偏振选择性。
涂层布朗噪声仍然是进一步提高精密光学测量灵敏度的核心障碍之一。本文提出的混合架构通过解决迄今为止限制超表面反射镜使用的光学损耗问题，为将超表面反射镜纳入实际实验提供了一条实用途径，而布朗噪声计算方法则提供了严格评估此类混合设计所需的工具。
附录A：涂层布朗噪声
如正文所述，我们通过将直接的 Levin 方法 [19, 20]（针对周期性纳米结构进行了修改 [12]）应用于我们完整的组合超表面布拉格堆叠来计算所提出的混合结构的布朗噪声。首先，我们使用从严格耦合波分析（RCWA）仿真获得的场分布，计算周期性结构单个单元在 Ta₂O₅–SiO₂ 界面和最顶部 SiO₂–空气界面处的电磁压力。该压力由每个界面两侧的麦克斯韦应力张量之差给出。由于这里考虑的所有材料都是非磁性的（µ_r = 1），磁场在任何界面处都不贡献压力差，并且压力仅取决于电场。例如，沿位于 zx 平面的最顶部 SiO₂–空气界面，电磁压力由下式给出
其中 ε₀ 是真空介电常数，ε_S 是 SiO₂ 的相对介电常数，E_z,top(x) 是沿最顶部界面在 ẑ 方向的电场，作为方向 x̂ 的函数。该结构在 x̂ 方向上是周期性的，光沿 −ŷ 方向入射，并沿 ẑ 方向偏振。在每个 Ta₂O₅–SiO₂ 界面 k 处，压力 P_k(x) 采用相同形式，其中 (ε_S − 1) 被 ±(ε_T − ε_S) 替换，其中 ε_T 是 Ta₂O₅ 的相对介电常数，符号取决于界面顺序。（由于后文所述的原因，在我们特定的几何结构中，位于 zx 平面之外的界面不需要考虑。）
分解
我们结构的周期 Λ₀ 是亚波长的，因此远小于入射高斯光束的光束半径 r₀。这种尺度分离意味着第 k 个界面处的每个压力分布 P_k(x) 包含两个物理上不同的分量：周期平均部分 P̄_k，它仅沿反射镜在光束尺度 r₀ 上变化，以及零均值、周期尺度剩余部分 δP_k(x)：
其中
周期性结构的单个单元，使用有限元分析（FEA）施加周期性边界条件，正确地捕获了对周期尺度分量 δP_k(x) 的弹性响应。然而，它无法捕获对光束尺度分量 P̄_k 的弹性响应，后者必须在整个反射镜域上计算（例如，参考文献 [20] 中给出的有限宽度光束的无限半空间处理）。因此，我们分别处理这两个分量，以完整计算系统的布朗噪声。柱侧壁位于 yz 平面，在布拉格堆叠中没有对应物，完全被视为周期性 δP_k(y) 部分。
我们考虑线弹性材料，因此响应 P_k(x) 产生的应变 s_ij 和应力 t_ij 以相同方式分解：
其中 i, j ∈ {x, y, z}，r⃗ = (x y z)ᵀ 表示域内的三维位置。上标 (1) 表示由平均压力分量 {P̄_k} 产生的场，(2) 表示由振荡分量 {δP_k(x)} 产生的场。应力和应变通过 t_ij(r⃗) = C_ijkl(r⃗) s_kl(r⃗) 相关联，其中 C_ijkl(r⃗) 是真实的局部弹性刚度张量，重复的空间索引求和。刚度张量具有对称性 C_ijkl(r⃗) = C_klij(r⃗)。
我们感兴趣的是应变能密度 ℰ(r⃗) = ½ s_ij(r⃗) C_ijkl(r⃗) s_kl(r⃗)，它也可以分解：
其中
在计算布朗噪声的直接方法中，能量密度 ℰ 用于计算 W，即响应施加总电磁力 F 所耗散的总能量；耗散源于二氧化硅和五氧化二钽中的非零机械损耗角 φ。（我们没有包括任何由于界面引起的额外机械损耗，因为先前对离子束溅射二氧化硅-五氧化二钽布拉格堆叠的研究表明这种损耗可忽略不计 [30]。）比率 W/F² 决定了布朗噪声的功率谱密度（PSD）作为傅里叶频率 f 的函数 [31]。我们将此 PSD 表示为 S_yy(f)，以表明它是由高斯光束在反射时感测到的涂层表面的等效位移涨落。我们对 ℰ 的分解，因此对 W 的分解，扩展到 PSD：
其中 S_yy^(1)(f) 是平均场贡献，完全如参考文献 [20] 中计算的那样，并在第 A 2 节中展开。S_yy^(2)(f) 是振荡项贡献，遵循参考文献 [12] 中概述的方法，并对高斯入射光束进行积分，如第 A 3 节中展开。S_yy^(cross)(f) 是交叉项，使用振荡项和平均项的组合计算，在第 A 4 节中展开。
图6. 来自公式 (A8) 的平均场项、振荡周期项和交叉项的涂层布朗噪声功率谱密度贡献，以及它们的总相干和。
公式 (A8) 的三个贡献在我们的说明性设计中分别绘制在图6中。我们发现来自平均项 S_yy^(1)(f) 的贡献占功率谱密度总量的 96.23%，而振荡周期项 S_yy^(2)(f) 贡献 2.24%，交叉项 S_yy^(cross)(f) 贡献 1.53%。我们在示例中使用了 7 个布拉格对；增加对数将减少周期项和交叉项的贡献，反之亦然。
接下来的小节计算施加的总电磁力 F_0,tot，然后计算耗散能量 W 的三个贡献。
1. 施加的电磁力
为了计算施加的总电磁力，我们首先计算单元内和 z = 0 处沿 ẑ 方向的单位长度总力。我们将此量表示为 F̃₀,cell。它是沿所有界面的压力分布的线积分：
其中 s 是沿每个界面的坐标：对于水平 Ta₂O₅–SiO₂ 和 SiO₂–空气界面为 x，对于柱的垂直侧壁为 y。通过对称性，来自柱侧壁的贡献相互抵消，但为了完整的线积分在此保留。
接下来，我们计算入射到完整周期阵列上的半径为 r₀ 的高斯光束的总施加力，其功率分布为
由于电磁压力与电场强度成正比，它将具有相同的高斯分布。我们知道周期 Λ₀ 是亚波长的，远小于光束尺寸。将单元的中心横向位置标记为 x_m = mΛ₀，其中 m ∈ ℤ，我们可以假设在任何单个单元上，其横向范围为 x_m − Λ₀/2 ≤ x < x_m + Λ₀/2，入射光束可以被视为具有功率 p_in(x_m, z)。我们还假设反射镜尺寸远大于入射光束。那么对于位于 x_m 的单元，单个单元上的总积分力由下式给出
然后对所有单元求和，整个反射镜上的总积分力由下式给出
再次使用 Λ₀ ≪ r₀。
2. 平均场（P̄）贡献
总涂层厚度远小于光束半径 r₀，因此平均压力 {P̄_k} 的作用如同施加在涂层弹性半空间表面上，在光束尺度高斯包络下，其功率分布在 y = 0 的 zx 平面中由公式 (A10) 给出。这是 Hong 等人 [20] 处理的几何结构；因此，我们可以通过将他们的完整涂层布朗噪声公式 [参考文献 [20] 的公式 (94)] 应用于任意（不一定是交替的）层堆叠来获得 S^(1)(f)，这里需要在单次计算中容纳嵌入式超表面层、SiO₂ 相位匹配层和布拉格双对。嵌入式超表面层被赋予有效机械特性（杨氏模量、泊松比、损耗角），这些特性从 Ta₂O₅/SiO₂ 填充比和表II中的材料值获得。
3. 周期性（δP）贡献
为了找到 S_yy^(2)(f)，我们首先使用在 COMSOL [32] 中实现的具有周期性边界条件的 FEA，将零均值压力分布 {δP_k(x')} 应用于反射镜的单个单元，产生所得的应变和应力场。这里我们用 x' 表示微观横向位置，对于以 x_m = mΛ₀ 为中心的单元，其范围从 x_m − Λ₀/2 到 x_m + Λ₀/2。与 ẑ 方向相关的横向应变只能来自光束包络的 ẑ 梯度，该梯度在光束尺度 r₀ 上变化。由于该尺度远大于周期性结构自身的长度尺度 Λ₀，与由周期性压力分量直接驱动的 x̂ 和 ŷ 方向的应变相比，该贡献可忽略不计。这与由平均场项引起的应变不同，后者在两个横向方向上都在 r₀ 上变化。因此，对于以 x_m = 0 为中心的单元，在二维几何中在 z = 0 处评估，考虑应变能密度 ℰ^(2)(x', y, 0) = ½ t_ij^(2)(x', y, 0) s_ij^(2)(x', y, 0) 就足够了。如果位置 (x', y) 处的机械损耗角为 φ(x', y)，则对于该参考单元，在 z = 0 处沿 ẑ 方向的单位长度在傅里叶周期 1/f 内耗散的能量为，
由于 ℰ^(2) 与局部压力幅度的平方成正比，其在以 x_m 为中心的单元处以及在位置 z 处的值，遵循公式 (A10) 中高斯分布的平方相对于该参考值的比例，类似于公式 (A11)：
对所有单元求和，以类似于力计算的方式，总耗散能量由下式给出
将 W_tot^(2) 和 F_0,tot 代入涨落-耗散定理，我们获得功率谱密度的以下表达式：
4. 交叉项
S_yy^(1)(f) 直接从参考文献 [20] 的总公式计算，而不需要底层局部场。为了计算交叉项 S_yy^(cross)(f)，我们需要显式地获得场 t_ij^(1)(r⃗)，以便它可以与周期性场 t_ij^(2)(r⃗) 逐点组合。
由公式 (A6)，使用对称性 C_ijkl(r⃗) = C_klij(r⃗)，交叉项能量密度为
由于 Λ₀ ≪ r₀，s_ij^(1)(r⃗) 仅在光束尺度上变化，并且在以 x = mΛ₀ 为中心的周期阵列的任何单个单元内是恒定的，而通过局部周期性压力 δP_k(x') 计算的 t_ij^(2)(r⃗) 继承了与压力本身相同的高斯包络。将 P̄_k(x, z) ≡ P̄_k e^{−2(x²+z²)/r₀²} 写为每个平均界面压力的光束尺度包络 [公式 (A10)]，并定义在 x_m = 0, z = 0 处的 φ 加权每单元应力积分，
因此，在以 x_m, z 为中心的单元处，该积分的值通过相同的高斯因子重新缩放。总交叉项耗散能量为
场 s_ij^(1)(r⃗) 从参考文献 [20] 附录 B 的涂层半空间解中获得。使用 Hong 等人的深度轴与我们 y 之间以及他们的两个横向轴与我们 {x, z} 之间的坐标对应关系，他们的解 [公式 (B25)–(B27)] 给出三个横向应变分量，
其中 (a, b) ∈ {(x, x), (z, z), (x, z)}，κ² = k_x² + k_z²，F̂(k_x, k_z) 是 Σ_k P̄_k(x, z) 的二维傅里叶变换。公式 (A22) 通过数值计算。这些应变与 y 无关。Hong 等人的解在此阶不包含进一步的非零横向应变分量：对于任何横向压力分布，s_xy^(1) ≡ 0 和 s_yz^(1) ≡ 0 恒等成立，因为纯法向施加的载荷在涂层半空间几何中不产生横向-深度剪切响应。
根据机械平衡，在高度 y 处光束中心的垂直应力为
对所有位于高度 y 之上的界面 k 求和。由于每个界面压力共享相同的横向包络，这推广到任意横向位置为 t_yy^(1)(r⃗) = e^{−2(x²+z²)/r₀²} t_yy^(1)(y)。在每个高度 y 处，垂直应变直接由胡克定律的各向同性形式得出，使用 s_xx^(1) 和 s_zz^(1) [来自公式 (A22)] 以及 t_yy^(1)(r⃗)（如上给出）：
它使用占据高度 y 的任一层的局部材料特性 Y(y) 和 ν(y)，并在嵌入式超表面层内使用如第 A 2 节中的均匀化有效特性。
s_ij^(1)(r⃗) 的每一项现在都可以分离为深度分布和横向分布的乘积：公式 (A22) 的横向应变与 y 无关，而公式 (A24) 的两项都分解为 y 相关材料分布乘以横向场。因此，公式 (A21) 中对深度（微观）和横向位置（宏观）的积分完全分离。我们定义横向光束尺度积分
对于 ab ∈ {xx, zz, xz}，以及深度积分
其中 J_yy 需要两个深度积分，因为公式 (A24) 的两项具有不同的横向分布。s_xz^(1) J_xz 贡献恒等消失：公式 (A22) 中的核 k_x k_z/κ² 在 k_z → −k_z 下为奇函数，而 F̂ 对于公式 (A10) 的圆对称光束为偶函数，因此 s_xz^(1)(x, z) 在 z 中为奇函数，其横向积分 G_xz 对于任何周期性结构都消失。对于与 t_yy^(1) 项一起出现的裸高斯包络的剩余横向积分，与第 A 3 节中相同的求和给出在 Λ₀ ≪ r₀ 极限下的 πr₀²/2Λ₀。代入公式 (A21) 并分离 y 积分和横向积分，总交叉项耗散能量变为
将公式 (A27) 中的 W_tot^(cross) 和第 A 1 节中的 F_0,tot 代入涨落-耗散定理得到
附录B：消光系数估计
正文表II中用于原子层沉积（ALD）基 Ta₂O₅ 和 SiO₂ 的消光系数值是从我们自己对 ALD 沉积的 TiO₂:HfO₂ 纳米层压薄膜的测量中外推的，而不是对 Ta₂O₅ 或 SiO₂ 的直接测量，我们在 ALD 文献中未能找到后者。使用 1064 nm 处的光热共路干涉法（PCI），我们在沉积后退火后测得 TiO₂:HfO₂ 薄膜的消光系数 k ≈ 10⁻⁶。这是在各种沉积和退火条件下获得的最低值，反映了我们提出的制造方法进一步工艺开发的预期结果。我们将其作为 ALD 沉积 Ta₂O₅ 的数量级估计，基于两者都是在可比工艺条件下通过 ALD 沉积的非晶氧化物。对于 SiO₂，我们假设消光系数比 Ta₂O₅ 低一个数量级，与当前引力波探测器涂层中 IBS 沉积的 SiO₂ 和 Ta₂O₅ 之间观察到的类似趋势一致 [22]。
