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引言。— 实现大规模量子网络承诺在安全通信、分布式量子计算和量子增强传感等方面提供变革性的能力[1–3]。早期的量子通信实验主要基于点对点链路分发两光子最大纠缠态[4]。最近在完全连接的量子网络架构中的进展使得波长复用纠缠在任意用户对之间进行分发成为可能[5–12]。这些发展为跨复杂网络拓扑结构共享双方纠缠提供了灵活且可扩展的框架。
随着量子网络的持续成熟，其功能的扩展不仅限于成对连接成为一个核心目标。要在远距离节点之间实现更丰富的相关性结构，需要能够生成并分发多个纠缠对或真正的多方纠缠态。四光子纠缠构成了建立两个贝尔纠缠或跨不同用户的多方纠缠的最小非平凡资源。特别是，同时分发两个贝尔对支撑了量子网络编码[13]、网络非局域性测试[14–17]和设备无关自测试[18]等先进协议。
在实际光纤网络中实现这些多光子资源，还需要一个能够在长距离内保持相干性的编码方案，同时保持与可扩展硬件的兼容性。时间窗编码特别具有吸引力，因为它天然地具有抗光纤中偏振波动和相位噪声的能力[19–23]。通过在时间模式中编码量子信息，时间窗纠缠实现了稳定的长距离传输，而无需主动的偏振稳定化。因此，将多光子纠缠与时间窗编码相结合，提供了一个可扩展且具有弹性的路径，朝着先进的量子网络架构迈进。
集成光子技术为可扩展的多光子纠缠态生成提供了一个有前景的平台，正如在高折射率玻璃[24]和硅[25–30]中所展示的那样。在各种材料平台中，薄膜铌酸锂绝缘体（LNOI）独特地结合了强二阶非线性和紧凑低损耗的架构[31]。其内在的χ(2)非线性使得在厘米级设备中高效的自发参量下转换（SPDC）成为可能[32–38]，而色散工程则支持宽带相位匹配[39–42]。这些特性使得LNOI特别适合实现用于波长复用量子网络的宽带和功率高效的多光子源。
在这项工作中，我们展示了在薄膜LNOI平台上高效的宽带四光子源。我们设计并制造了一种浅刻蚀周期极化铌酸锂（PPLN）波导，该波导能够实现高效的光子对生成，亮度为6.7 MHz/mW/nm，且相位匹配带宽为229 nm。时间窗编码的多光子态通过时间调制的脉冲泵浦生成。为了完全访问生成的量子态，我们开发了一个相干自由度（DOF）转换器，能够在时间窗和偏振编码之间转换任意状态。使用这个接口，我们重建了双光子和四光子纠缠态的密度矩阵，获得了0.874 ± 0.002和0.74 ± 0.01的保真度。在0.08 mW的泵浦功率下，四光子态表现出1 Hz的四重重合率，比之前的集成演示提高了大约三倍。
实验设置。— 如图1所示，生成和检测四光子纠缠态的实验设置由三个主要部分组成。第一部分准备和调制泵浦光（图1 (a)）。
图1. 用于生成和表征周期极化铌酸锂（PPLN）波导中的多光子量子态的实验装置示意图。该实验包括四个主要阶段：(a) 泵浦脉冲序列的调制；(b) 在浅刻蚀PPLN波导中生成时间窗编码的多光子态；(c) 时间窗与偏振编码之间的相干自由度（DOF）转换；(d) 偏振分析和光子探测。 (e) 符号：HWP，半波板；QWP，四分之一波片；PBS，偏振分束器；PC，偏振控制器；LF，带透镜光纤；LP，长通带滤波器；DM，二色镜；TCSPC，时间相关单光子计数；SNSPD，超导纳米线单光子探测器。
使用一个中心波长为775 nm、重复率为100 MHz、脉冲宽度约为10 ps的脉冲激光作为泵浦光。脉冲被注入到一个不平衡的马赫-曾德干涉仪（UMZI），该干涉仪在其两个臂之间引入645 ps的固定时间延迟。具体来说，水平偏振的泵浦首先通过设置为22.5°的半波板（HWP）旋转，生成水平和垂直偏振的等超位置。然后，偏振分束器（PBS）将两个偏振分量分开，将|V⟩导入UMZI的短臂（|e⟩），将|H⟩导入长臂（|l⟩）。传播后，两个分量在PBS处重新组合，产生时间窗编码的泵浦态|ψp⟩ = √1/2。
其中，|esn ein⟩ 和 |lsn lin⟩ 分别表示在早期和晚期时间窗中生成的信号–闲置光子对。为了表征生成的时间窗纠缠，我们通过第二个UMZI（图1 (c)）将其转换为偏振纠缠。信号光子和闲置光子与参考光束一起被注入该干涉仪。其路径长度差被精确匹配到第一个UMZI的路径长度差，从而确保早期–长时间窗和晚期–短时间窗之间的时间重叠。在这种匹配延迟条件下，方程1中描述的时间窗纠缠被相干地映射到偏振自由度（DOF），从而生成
其中，ϕ = ϕsn + ϕin − ϕp。相位ϕsn和ϕin来自第二个UMZI中的光路径差。态|m⟩对应于中间时间窗，由不可区分的早期–长时间窗和晚期–短时间窗路径形成。光子对通过使用泵浦脉冲序列作为时序参考，在该中间时间窗中进行后选择，从而为每个通道的时间窗到偏振转换提供50%的成功概率。在第二个UMZI的输出端，参考光束通过长通带二色镜滤波器与光子对分离。参考光被功率计检测，并输入到一个比例–积分–微分（PID）反馈回路中，该回路控制安装在一个干涉仪镜子上的压电换能器（PZT），从而稳定相位ϕ。生成的光子对通过粗波长分复用器（CWDM）分离。如图1(d)所示，使用HWP、四分之一波片（QWP）和PBS分析偏振态。所有光子通过超导纳米线单光子探测器（SNSPDs）检测，并通过时间相关单光子计数（TCSPC）系统记录重合事件。
纠缠表征。— 我们首先表征了来自PPLN波导的宽带SPDC辐射。
图2. SPDC光子对的表征。
(a) 从SPDC生成的光子的测量光谱。
(b) 不同泵浦功率下，光子对（s1, i1）和（s2, i2）的对生成率（PGR）。
(c) 不同光谱通道下，四光子纠缠态的理论和实验重建密度矩阵的实部（Re）和虚部（Im）。
(d) 对光子对（s1, i1）和（s2, i2）测量的双光子干涉条纹。
如图2(a)所示，源展示了一个平滑且连续的光谱，具有229 nm的3 dB带宽和504 nm的基到基带宽。这个异常宽的相位匹配窗口使得同时访问多个粗波长分复用（CWDM）通道成为可能，支持跨电信带的并行纠缠分发。在该带宽内，我们选择了两个对称的信号–闲置通道对，分别为(s1, i1)和(s2, i2)，实现了光谱上可分离的纠缠光子对的并行生成。相关光子通过CWDM滤波器分离，中心波长分别为1510 nm、1530 nm、1570 nm和1590 nm，每个通道具有18 nm的3 dB带宽。我们测量的两个通道对的联合光谱强度展现了明确定义的反对角结构，确认了SPDC过程中的强能量守恒（见附录）。对于每个通道对，我们测量了信号、闲置和二重重合率，并在不同的片上泵浦功率下提取了光子对生成率（PGR）（详情见附录）。如图2(b)所示，(s1, i1)的PGR为120 MHz/mW，(s2, i2)的PGR为90 MHz/mW。通过18 nm CWDM带宽归一化，得到(s1, i1)的光谱亮度为6.7 MHz/mW/nm，(s2, i2)的光谱亮度为5 MHz/mW/nm。考虑到泵浦激光器的重复率为100 MHz，估算每脉冲的平均光子对生成率约为10^-1光子对，在泵浦功率为0.1 mW时。
在泵浦功率为0.12 mW时，我们通过量子态层析法重建实验密度矩阵ρ_exp_s1i1和ρ_exp_s2i2，如图2(c)所示。相对于理想贝尔态|Φ2⟩的保真度计算为Fsnin = Tr，生成四光子态。
结论与讨论。— 总结来说，我们在薄膜LNOI平台上实验性地展示了宽带四光子纠缠。通过利用类型0的SPDC和时间窗编码，我们生成了具有0.74±0.01保真度和1 Hz的四重重合率的电信带四光子纠缠态，相比以往的实现大约提高了三倍。测量的相位匹配带宽超过200 nm，提供了与密集波长分复用的内在兼容性，支持跨多个频率通道的并行纠缠分发。这些结果确立了LNOI作为一个可扩展且实用的χ(2)平台，用于集成多光子量子光子学，并为基于芯片的波长复用量子网络和大规模纠缠分发迈出了重要一步。
图3. 四光子量子态的表征。
(a) 四光子纠缠态的理论和实验重建密度矩阵的实部（Re）和虚部（Im）。
(b) 在|H⟩ / |V⟩基和|±⟩基下测量的四光子干涉。实线曲线表示理论的四光子干涉预测，而虚线曲线显示了预期的双光子干涉余弦依赖。
与之前报道的基于其他材料平台的四光子纠缠源相比，我们的结果将四重重合率提高了大约三倍（详细比较见附录）。在本实验中，每个通道的总损耗约为15.5 dB，附录中提供了详细的损耗分解。光纤到芯片的耦合损耗约为4 dB，通过使用最先进的锥形设计和优化的制造工艺[45, 46]，可以将其减少到低于0.5 dB。此外，与DoF转换相关的3 dB损耗来自于概率性的时间窗后选择，并非本质性损耗。通过实现基于电光调制的确定性时间窗分析仪[47–49]，可以消除这种损耗，这些分析仪与LNOI平台完全兼容。通过这些改进，四重重合率预计将提高两个数量级，显著提高多光子生成效率。
附录A：周期极化铌酸锂（PPLN）波导的设计与制造
我们考虑在一个直线脊波导中进行自发参量下转换（SPDC），该波导在铌酸锂绝缘体（LNOI）平台上制造，平台由一个3µm厚的z-cut 5% MgO掺杂铌酸锂（LN）薄膜组成，该薄膜通过一个2µm厚的SiO2层与0.5mm厚的硅基板粘合。
图4. 数值模拟。
(a) 设计的波导横截面。
(b) 模拟结果。近红外泵浦光和电信带信号（闲置）光都在基本的准横向磁场模式（TM00）下工作，红色虚线表示对应的有效折射率 neff(λp)，红色实线表示 neff(λs(i))，并将它们作为波长的函数绘制。蓝色线表示计算的QPM周期Λ。插图是泵浦光（775 nm）和信号（闲置）光（1550 nm）的模式剖面。
(c) 相位不匹配 ∆βL/2π 的曲线以蓝色实线表示，波导长度 L = 12 mm，并选择适当的极化周期。紫色虚线表示相位不匹配 sinc 函数的第一个零点，红色虚线表示 |ψQPM|² = 0.5。
模拟的波导横截面如图4(a)所示，波导的顶部宽度为w = 4.5µm，铌酸锂的厚度为h2 = 3µm，刻蚀深度为h1 = 0.58µm。选择这种几何形状是为了在泵浦光和下转换光的波长上支持基本的横向磁场（TM00）模式。在退化的SPDC过程中，一个泵浦光子（p）在角频率ωp下转换成两个光子——信号光子（s）和闲置光子（i），它们的频率相等，ωs = ωi = ωp/2。有效的非线性相互作用要求满足准相位匹配（QPM）条件∆β = 2βs(i) − βp − βΛ = 0，其中β = 2π/λ neff(λ)是传播常数，neff是有效折射率，βΛ = 2π/Λ是由周期极化引入的倒格矢，Λ是周期极化的周期。为了确定类型0相位匹配所需的极化周期（TM00 → TM00 + TM00），我们数值计算了泵浦波长λp和退化信号/闲置波长λs(i) = 2λp下基本TM00模式的有效折射率。图4(b)中以红色虚线曲线表示了750–800nm范围内的neff(λp)的模拟有效折射率，而相应的neff(λs(i))值以红色实线曲线表示。对于λp = 775nm和λs(i) = 1550nm，计算得到的有效折射率为neff(775nm) ≈ 2.1669和neff(1550nm) ≈ 2.1152。图4(b)中的插图显示了这两个波长下的TM00模式剖面，表明泵浦和下转换场之间有强烈的空间模式限制和重叠。因此，我们可以计算出QPM周期。
通过设置波导长度 L = 12 mm，我们计算了相位不匹配 ∆βL/2π，如图4(c)所示。当 ∆βL/2π = 1 时，QPM函数 |ψQPM|² = |sinc(∆βL/2)|² = 0（用紫色虚线标记）表示相位匹配带宽最大为58 THz。考虑到制造的波导结构中的不均匀性，实际的相位匹配带宽有所增加，尽管这会导致亮度的下降。此外，相位匹配函数的半峰全宽（FWHM）大约为36 THz（用红色虚线标记）。
为了制造PPLN波导，我们首先通过激光直接写入定义电极图案，然后沉积80 nm厚的铬层并进行 lift-off 以形成极化电极。每个电极指长125 µm，提供足够大的极化区域以容纳多个波导结构。在极化过程中，LN表面上图案化的铬电极作为阳极，而低电阻率的硅基板则作为接地电极。通过施加约800 V的电压脉冲，每个脉冲持续时间为200 ms，以诱导沿z轴的畴反转，从而形成周期极化的LNOI样品。极化后，使用金属蚀刻剂去除铬电极。随后，在极化区域内进行波导制造。波导图案通过激光直接写入定义，然后沉积200 nm厚的铬硬掩膜。通过感应耦合等离子体反应离子刻蚀（ICP-RIE）将图案转移到LN薄膜中，形成脊波导。在ICP-RIE过程中，ICP功率设定为700 W，RIE功率为100 W。采用SF6和Ar的气体混合物，比例为3:1。刻蚀速率约为8.5 nm/min，刻蚀选择性相对于铬掩膜超过3:1。四个波导在极化区域内制造，如图5(a)所示。
图5. 芯片制造。
(a) 在光学显微镜下观察到的制造芯片的俯视图。
(b) 实验波导端面的扫描电子显微镜（SEM）图像。
(c) 极化区域的压电响应力显微镜（PFM）图像。
(d) 沿实验波导No. 2的畴反转占空比。
在我们的实验中，选择了波导No. 2用于纠缠生成。波导No. 2的端面扫描电子显微镜（SEM）图像如图5(b)所示，揭示了明确定义的脊结构。通过压电响应力显微镜（PFM）对反转的铁电畴进行表征，如图5(c)所示，反转的畴呈现浅灰色。沿波导No. 2的PFM数据如图5(d)所示。通过对畴图案的方波拟合，反转畴的占空比估算为约0.68。
附录B：PPLN波导的表征
图6. PPLN波导的二次谐波生成（SHG）表征。
(a) 测量波导SHG效率的实验装置。780/1550 BWDM，780/1550 nm带宽波长分复用器；PM，功率计。
(b) 测量的SHG效率随基频（FH）波长变化的曲线。峰值转换效率约为31.85%/W。
1.
二次谐波生成
2.
在进行SPDC表征之前，通过二次谐波生成（SHG）评估PPLN波导的经典非线性转换效率。如图6(a)所示，电信带中的基频（FH）光由一台连续波（CW）可调激光器（Santec，TSL550）提供。偏振控制器（PC）用于确保基频光保持TM偏振，然后通过带透镜的光纤（LF）将其耦合到PPLN波导中。生成的二次谐波（SH）光与残余的基频光通过另一个LF耦合出，并随后通过775/1550 nm波长分复用器（BWDM）分离。基频光和二次谐波光的功率强度（分别记为PFH和PSH）通过电信功率计（PM）和近红外（NIR）PM分别记录。SHG效率ηSHG通过以下公式计算：
其中，ηFH 和 ηSH 分别是基频（FH）光和二次谐波（SH）光的传输效率。当PPLN芯片安装在设定温度为21°C的热电制冷器上时，我们通过扫描基频光的波长来获得二次谐波生成（SHG）光谱（以ηSHG表示），如图6(b)所示。峰值转换效率约为31.85%/W。我们通过以下方式计算设计的PPLN波导的理论峰值：
其中，非线性系数 d33 = 27 pm/V，极化畴长度 L = 12 mm，ε0 是真空介电常数，c 是真空中的光速。对于基频光的波长 λFH = 1550nm，有效折射率 nFH = neff(1550nm) ≈ 2.1152，nSH = neff(775nm) ≈ 2.1669。有效模面积为 Aeff =
2. SPDC
图7. 光子对生成率（PGR）和光子对的重合与偶然比率（CAR）表征。
(a) 实验装置。一个775 nm脉冲激光直接泵浦PPLN波导，生成两个光子对（s1, i1）和（s2, i2），用于我们的实验。使用BWDM滤除残余泵浦光。生成的光子通过粗波长分复用器（CWDM）解复用到四个独立的通道，然后通过超导纳米线单光子探测器（SNSPDs）检测。时间相关单光子计数（TCSPC）分别记录每一对光子的二重重合。
(b) 和 (c) 不同泵浦功率下，第n对光子对的信号（闲置）计数率 Csn（Cin）和重合计数率 Csnin。
(d) 和 (e) 不同时间延迟t下，泵浦功率为113 µW的光子对（s1, i1）和泵浦功率为151 µW的光子对（s2, i2）信号与闲置光子的重合计数。
(f) 和 (g) 不同泵浦功率下，光子对（s1, i1）和（s2, i2）的PGR和CAR值。误差条为通过包含发射光子的泊松统计和波动估算的标准差。
我们使用图7(a)所示的实验 setup 来表征PPLN波导的光子对生成率（PGR）和重合与偶然比率（CAR）特性。一个775nm的脉冲激光直接泵浦波导。经过BWDM过滤和粗波长分复用器（CWDM）解复用后，我们实验中使用的两个光子对（s1, i1）和（s2, i2）被检测。我们在不同的泵浦功率下采集数据，显示出与泵浦功率大致线性增长的趋势，如图7(b)和(c)所示。我们将来自第n对信号和闲置光子的计数率分别记为Csn和Cin，将重合计数率记为Csnin。然后，PGR通过以下公式计算：
通过拟合图7(f)和(g)中的斜率，我们分别获得了（s1, i1）的片上PGR为0.12 MHz/µW，和（s2, i2）的片上PGR为0.09 MHz/µW。将PGR除以CWDM的3 dB带宽（18 nm），得到（s1, i1）的光谱亮度值为6.7 MHz/mW/nm，（s2, i2）的光谱亮度值为5 MHz/mW/nm。
信号光子和闲置光子的时间相关性通过CAR来表征，CAR通过在每对信号和闲置光子之间引入时间延迟t来测量Csnin得到。图7(d)和(e)分别显示了在113 µW泵浦功率下（s1, i1）和151 µW泵浦功率下（s2, i2）的Csnin(t)。然后，CAR通过以下公式计算：
其中，Csnin(0)表示在同一泵浦脉冲内生成的信号光子和闲置光子的重合计数率（n = 0，零时间延迟），而Csnin(∆t)是测量在时间延迟∆t = nT（其中n = ±1, ±2, . . .，T = 1/frep是激光脉冲周期）下的偶然背景率。实验中，我们使用∆t = ±10 ns，对应于frep = 100 MHz时的n = ±1，在此情况下，时间光子相关性消失，仅检测到偶然的重合事件。作为泵浦功率函数记录的CAR值如图7(f)和(g)所示，随着PGR的增加，CAR值减小，这是由于SPDC中的高阶激发，导致时间相关性相应减弱。
为了表征下转换光子的光谱特性，我们分别测量了两对光子的联合光谱强度（JSI）。如图8(a)所示，PPLN波导同时被一个775 nm脉冲激光和一个可调电信CW激光泵浦，发生差频生成（DFG）。电信激光的波长在与信号光子对应的CWDM通道范围内扫描。经过滤除泵浦光后，生成的闲置光子被导入光谱仪，以测量其光谱信息。
图8. 光子对的联合光谱强度（JSI）表征。
(a) 实验装置。一个775 nm脉冲激光（λp）和一个电信CW激光（λs）通过BWDM合成，其中λs在与信号光子对应的CWDM通道的波长范围内扫描。PPLN波导同时被这两个波长泵浦，通过差频生成（DFG）生成λi波长的闲置光子。通过BWDM和CWDM滤除λp和λs后，λi被导入光谱仪以测量其光谱信息。
(b) 和 (c) 分别为光子对（s1, i1）和（s2, i2）的JSI。
在图8(b)中，可调电信CW激光扫描从1515 nm到1540 nm，光谱仪测量来自中心波长为1570 nm的CWDM通道滤波器的光谱。在图8(c)中，可调电信CW激光扫描从1500 nm到1525 nm，光谱仪测量来自中心波长为1590 nm的CWDM通道滤波器的光谱。从图8(b)和(c)可以看出，对于每对波长通道，我们通过光谱仪观察到两个DFG峰值，我们将其归因于波导结构的不均匀性——这一特征在SHG测量中也有体现。
附录C：更多实验细节
图9. 准备和调制泵浦光以生成态 |ψp⟩ = √1/2 的实验装置。
1.
多光子态生成的实验细节
我们通过逐步计算详细描述多光子态的生成过程。如图9所示，首先，通过第一个不平衡的马赫-曾德干涉仪（UMZI 1）调制并准备脉冲激光，作为状态生成所需的泵浦光。一束激光脉冲通过偏振分束器（PBS1），携带水平偏振。一个设置为22.5°的半波板（HWP）将脉冲调制成水平（|Hp⟩）和垂直（|Vp⟩）偏振的叠加态。PBS2将|Hp⟩和|Vp⟩偏振分别导入UMZI 1的长臂和短臂，将它们分别放置在时间窗|ep⟩和|lp⟩中。它们的偏振通过两次通过设置为45°的四分之一波片（QWP）进行翻转。这两个偏振分量随后通过PBS2重新组合，形成相干的脉冲叠加态，具有相对相位ϕp。调制后的脉冲经过设置为22.5°的半波板进行偏振旋转后，通过PBS3将其分成两部分。反射部分，具有|Vp⟩偏振，用作参考光。透射部分，具有|Hp⟩偏振，被耦合进单模光纤（SMF）作为泵浦光。泵浦脉冲生成过程由方程C1描述。
2.
随后，泵浦光的偏振通过偏振控制器（PC）旋转到|Vp⟩，以驱动类型0的SPDC过程，从而生成时间窗纠缠态。方程C2详细描述了这一过程。
为了表征时间窗纠缠态，使用UMZI 2将时间窗纠缠转换为偏振纠缠，如图10所示。生成的信号光子（s）和闲置光子（i）通过偏振控制器（PC）和PBS4，携带|VsVi⟩偏振。一个设置为22.5°的半波板（HWP）将它们旋转成等超位置的偏振态。PBS5将每个光子分成|H⟩和|V⟩分量，将它们分别导入UMZI 2的长臂和短臂。这两个分量在UMZI 2中被放入新的时间窗，并翻转它们的偏振。两个UMZI的路径长度差被精确匹配，确保相关时间窗之间的时间重叠，并使相干干涉成为可能。因此，UMZI 2后有四个可能的时间窗：|ee⟩、|el⟩、|le⟩、|ll⟩。其中，|el⟩和|le⟩由于有不可区分的重叠，重新定义为时间窗|m⟩。信号和闲置光子在UMZI 2中经历的光路径长度差还会产生相位ϕs和ϕi。使用泵浦激光的脉冲序列作为时序参考，|m⟩被后选择为偏振纠缠态的时间标签。这个时间窗后选择对每个光子的成功概率为50%，对应于每个通道的3 dB损耗。在自由度（DOF）转换后，偏振纠缠态包含一个新的相对相位ϕ = ϕs + ϕi − ϕp。方程C3详细描述了DOF转换过程。
图10. 将时间窗纠缠态 √1/2 转换的实验装置。
1.
系统损耗
在四光子态测量中，每个通道的光子损耗总计为15.5 dB。我们在表I中总结了系统中各个组件的损耗。主要损耗是光纤到芯片的耦合损耗为4 dB，这对多光子源的性能有严重影响。通过锥形设计和优化的制造工艺，耦合损耗可以降低到0.5 dB以下。另一个不可忽视的损耗是自由度（DOF）转换损耗，这可以通过使用电光调制的确定性时间窗分析仪来优化。此外，UMZI插入损耗和偏振分析器的损耗也可以进一步优化。通过上述改进，多光子量子光源的计数率将显著提高，同时不会降低保真度。
2.
表I. 纠缠态测量系统的损耗分析
3. 
4.
5.
附录D：四光子干涉测量
在我们的实验中，四光子量子态由两个同时的贝尔态组成，其理想表达式为 |Φ4⟩ = |Φ2⟩⊗2。在测量四光子偏振相关性时，信号光子中的半波板（HWP）角度固定为 θs1 = θs2 = θs，而闲置通道 i1 和 i2 中的半波板角度同步旋转，从0°到180°，即 θi1 = θi2 = θi 从0°变化到180°。
考虑到半波板的琼斯矩阵
信号光子的投影为 |ψs1⟩ = |ψs2⟩ = UHWP(θs)|H⟩，闲置光子的投影为 |ψi1⟩ = |ψi2⟩ = UHWP(θi)|H⟩，因此复合投影算符为 |Ψ⟩ = |ψs1⟩ |ψi1⟩ |ψs2⟩ |ψi2⟩。这导致预期的四光子干涉与 P = |⟨Ψ|Φ4⟩|² 成正比，结果为 1/4 * cos⁴(2θi − 2θs)。
附录E：集成四光子源的比较
我们总结了基于其他材料平台的先前报告的片上生成两个同时贝尔态的研究。与之相比，我们的结果将四重重合率提高了大约三倍。
表II. 片上四光子量子源（两个同时贝尔态）的总结
文章名：Chip-Integrated Broadband Multi-Photon Source for Wavelength-Multiplexed Quantum Networks作者：Xiao-Xu Fang,1 Ling-Xuan Kong,1 and He Lu1, ∗单位：山东大学
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OMeda（上海奥麦达微）成立于2021年，由3名在微纳加工行业拥有超过7年经验的工艺，项目人员创立。在微纳加工(镀膜、光刻、蚀刻、双光子打印、键合，键合)等工艺拥有丰富的经验。 同时，我们支持4/6/8英寸晶圆的纳米加工。部分设备和工艺支持12英寸晶圆工艺。针对MEMS传感器、柔性传感器、微流控、微纳光学，激光器，光子集成电路，Micro LED,功率器件等行业。
